2017 Fiscal Year Research-status Report
近可積分ハミルトン系動力学の特異性と量子古典対応の破綻
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17K05583
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
首藤 啓 首都大学東京, 理工学研究科, 教授 (60206258)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 量子カオス / ハミルトン系 / 近可積分系 / 半古典理論 / 動的トンネル効果 / 回折 / 完全WKB解析 / 馬蹄力学系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
トンネル遷移に関与する自由度が複数存在するような現象は，固体物理，原子核，化学反応をはじめとして現実の物理過程には数多く存在する．そのことからも，多次元空間内で起こるトンネル効果，すなわち，多次元トンネル効果の問題は量子力学の基本問題のひとつと考えられる．通常のトンネル効果は，プランク定数に対して指数関数的に減衰するのが常識とされているが，カオスを内在する非可積分系では，引き延ばされた指数関数(stretched exponential)に従うことを長時間数値計算により見出した．トンネル効果が量子力学の中で認識されて以来，指数関数減衰から外れた形のトンネル効果の存在を指摘したのは我々の知り得る限り過去にない．
混合空間を構成するハミルトン系のトンネル効果を半古典的に調べるために散乱写像を提案した．まず，提案された散乱写像がもる摂動パラメータが領域にあるとき，系が位相馬蹄条件を満たすことを厳密に証明した．次に，対応する量子系の共鳴状態を，複素スケーリングの方法を用いて計算し，従来の吸収ポテンシャルを用いた共鳴状態の計算の妥当性を検討した．その結果，吸収ポテンシャルに不連続性がある，もしくは，プランク定数のスケールに対してその変動領域が小さいような吸収ポテンシャルを用いると，共鳴状態のエネルギーは複素スケーリングを用いた場合と著しく異なる結果を返すことがわかった．近年，共鳴状態の状態数と対応する古典系の不変集合のフラクタル次元には一定の関係（フラクタルワイル則と呼ばれる）があることが予想され，その吸収ポテンシャルの方法を用いてその数値的検証が行われてきたが，本研究はそれらの計算結果の妥当性に再検討を促すものである．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
プランク定数に対して非指数関数的に減衰するようなトンネル過程が非可積分系において見出されたことは大きな成果である．本研究課題の主要テーマである，近可積分系における量子古典対応の破綻を示唆する強力な証拠と言え，初年度の成果としては十分と考える．また，散乱写像の提案と，複素スケーリング法を用いた量子共鳴状態の計算結果は，これまで吸収ポテンシャルの方法を用いて行われてきた散乱写像系の共鳴状態の計算に，回折などの純量子論的な効果が大きく関与することを示すものであり，本研究課題で明らかにしようとしている量子古典対応の破れに繋がる結果である．当初の研究計画では想定していなかった副産物であり，平成30年度以降，さらに解析を進めていきたい．上記の研究実績の概要欄には記していないが，完全WKB法を用いた近可積分系の複素半古典論に関しても十分な進展があった．
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| Strategy for Future Research Activity |
平成29年度で明らかになった非指数関数的に減衰するようなトンネル過程の背景を理論的に探ることが大きな課題である．これは，従来より我々が進めてきた繰り込み摂動論を用いた，非可積分系のトンネル過程の特異性の研究と直結するものであり，その解析は急務と言える．また，平成29年度我々が提案した散乱写像は，古典力学的にも興味深いモデルであり，特に，平成29年度は，その系が位相馬蹄条件を満たすことを厳密に証明することに成功したいが，次年度以降，さらに進んで，一様双曲性を満たすことを証明することを目指している．また，散乱写像系など，古典系の性質が十分制御された系を用いて時間領域半古典論破綻のメカニズムとそのタイムスケールとの関係を探る，これは本研究課題の中心テーマの一つである．
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| Causes of Carryover |
(理由)海外の共同研究者の招へいを予定していたが，先方の都合が合わず取りやめになったこと，および，数値計算については当該年度については，現有のサーバで十分な程度の計算だったため，次年度使用額が発生した．
(使用計画)取りやめになった共同研究者の招へいをあらためて行い，また，計算サーバもしくはパソコンを購入し，より大規模な数値計算を実行する．
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