2019 Fiscal Year Research-status Report
近可積分ハミルトン系動力学の特異性と量子古典対応の破綻
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17K05583
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
首藤 啓 首都大学東京, 理学研究科, 教授 (60206258)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 量子カオス / 近可積分系 / ハミルトン系 / トンネル効果 / 半古典論 / 複素力学系 / 一様双曲性 / Perron-Frobenius 作用素 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1) 非可積分系ンネル効果の半古典解析の困難は，無数に潜在する鞍点解から寄与の大きい複素軌道を抽出することにある．これまでの研究から，複素空間の前方Julia 集合が半古典プロパゲータに寄与する軌道を含むことが明らかになっており，また，周期点から伸びる複素安定多様体はJulia 集合をよく近似することが知られている．これらの事実をもとに，本年度は，近年我々が提案した散乱写像に対して，複素安定多様体を求め半古典プロパゲータに寄与する軌道抽出のための計算アルゴリズムを開発した．
2) 前年度に引き続き，理想的にカオス的なHamilton 系のモデルである perturbed cat map のPerron-Frobenius 作用素の固有値，および固有関数の性質を調べた．特に，大きさが１より小さい固有値のうち最大の大きさをもつもの（第二固有値）は力学系の緩和に対して最も支配的であることが期待され，また，緩和の空間的な非一様性を反映していることが予想される．本年度は，第二固有値に対する固有関数の空間的分布が いわゆる有限時間Lyapunov 数と同じ空間パターンを持つことを数値的に見出した．
3) 過冷却状態にある液体がガラスになる際，僅かな温度変化や密度変化で粘性が急増することが知られている．この粘性の急増メカニズム(スローダイナミクス)については，古くか ら様々な議論があるが，多くの先行研究から，低温もしくは高密度状態において粒子が囲い込まれる，いわゆるケージ効果がその原因となっていることがわかっている．ここでは，三角格子状に障害物となる円盤を固定しその隙間を1 つの質点が障害物と衝突しながら運動するいわゆるローレンツガスモデルを調べ，ケージ効果をはじめ多体系が示す多くの性質が１体系でも実現されることが明らかになった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
1) 時間領域の複素半古典論を用いた非可積分トンネル効果の研究は，我々が世界に先駆け手がけたものであるが，現在でも世界をリードする状況にある．今年度行った複素安定多様体にもとづく解析は，その方向をさらに深化させるためには欠くことのできない作業であった．その結果は良い意味で予想を裏切るもので，実面のカオスの性質のみではトンネル効果を決める複素軌道の作用虚部が決まらないというものであった．この結果は，それ自体，発見と言えるが，それ以上に，複素空間のダイナミクスが本質的に量子現象に関与することを示唆する点で大きな意義があると考える．
2) 本研究課題は，近可積分なハミルトン系を主テーマとしているが，近年，実は理想的なカオスを示す系においても，これまで知られていなかった重要な事実，例えば，理想カオス系の緩和の空間的な非一様性などが明らかになりつつあり，その理論的な解析が急速に進んでいる．このことに刺激されて，本研究では，一様双曲性をもつ面積保測写像に対して，とくに，Perron-Frobenius 作用素と呼ばれる位相空間上の分布関数の時間発展を記述する作用素の固有関数の空間的なパターンに注目し研究を進めている．今年度，我々が明らかにした，有限時間リアプノフ数とPerron-Frobenius 作用素の第二固有値に対応する固有関数との良い対応は，カオス的移流の分野で近年注目が集まっているstrange eigenmodeとの関連が示唆される．近可積分系に対する解析も今後進める予定である．
3) ローレンツガスを用いた研究は，ガラスに見られる遅い緩和過程を力学系としてどのように捉えるか，という点に研究の動機がある．こちらも，理想カオス系における位相空間の構造という点で2)と問題を共有するものであり，次年度，さらに研究を進める予定である．
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| Strategy for Future Research Activity |
最終年度には以下の点に注力を傾ける．まず，2018年度に明らかになった，非可積分系のトンネル効果のプランク定数依存性に見られる異常（通常であれば，プランク定数に対して指数的に減少することが期待されるトンネル確率が非指数関数的になる）の起源を，通常のトンネル効果に対する量子補正の観点から整理する．次に，レベルダイナミックスと呼ばれる，固有値・固有関数のパラメータに対する運動方程式を解析することにより，非可積分系のトンネル効果の本質が，可積分系のトンネル効果では遷移し得ない領域への遷移であることを明確にする．これらと並行して，2019年度に行った複素力学系をもとにした半古典解析からの結果を合わせ，非可積分系のトンネル効果に対する理解を大きく進めたい．非可積分系のトンネル効果の研究は，その端緒となる論文が出てから既に30年ほどの年月が経つが，現在に至っても，研究者間での非可積分系のトンネル効果の理解は定まっていない．本研究では，この長年の懸案事項にひとつの区切りを与えることに大きな目標を置いている．
一方，近可積分系の古典論に関しては，2018年度，2019年度に進めてきた，一様双曲系に対して調べてきた観点を近可積分系に対しても検討する．具体的には，近可積分系に対するPerron-Frobenius 作用素の固有関数の性質，位相馬蹄条件と一様双曲性に対する十分条件が明らかになりつつある．結合エノン写像の分岐と近可積分領域での振る舞いを調べることを計画している．また，2019年度に明らかになった一体系におけるガラス的な振る舞いについての研究をさらに進める．特に，一体ローレンツガスにランダムネスを加えて状況を詳しく調べる予定である．これは，近年，研究が活発化しているランダム力学系との繋がりもあることから，今後に繋がる興味深い視点と考えられる．
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| Causes of Carryover |
(理由) 研究の進捗状況に応じて2019年３月に海外の共同研究者の招へいを予定していたが，コロナウイルスの影響があり来日が取りやめになった．また，数値計算を行うための計算サーバについては，現有のもので十分な程度であった．以上により次年度使用額が発生し た．
(使用計画) 共同研究者のDomenico Lippolis氏(江蘇大学)を招へいして共同執筆論文についての打ち合わせを行う．また，Roland Ketzmerick氏(ドレスデン工科大学），Gergo Nemes氏（レニー数学研究所）を招へいし，それぞれ，開放系における半古典固有関数仮説の議論，および，複素半古典論に関する情報提供を行っていただく．また，計算サーバを購入し，レベルダイナミクスを用いて大規模数値計算を実行する．
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