2021 Fiscal Year Research-status Report
近可積分ハミルトン系動力学の特異性と量子古典対応の破綻
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17K05583
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
首藤 啓 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (60206258)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 量子カオス / 量子トンネル効果 / 複素半古典論 / 超微弱摂動系 / エノン写像 / 反可積分極限 / 一様双曲性 / 位相馬蹄力学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1) 超微弱摂動系に対する超高精度数値計算を実行することによりそのトンネル機構を探り，以下の結果を得た．1-1) 実位相空間上に，非可積分性由来の構造が現れない超微弱摂動系であっても，系の固有関数のトンネルテールの深いところに階段状の構造が現れる．1-2) 階段状構造の出現は，規則領域の回転数がその半径の関数として極値をもつ，もしくはその微分が極値をもつときにより顕著に起こる．1-3) 階段構造は，注目している固有状態と外力の周期から決まる高励起状態との量子共鳴によって起こる．以上より，超微弱摂動系の固有関数に観察される階段構造の起源は，量子論的共鳴によって引きおこされるものであり，近可積分系におけるトンネルテールの階段構造の起源とされてきた，古典非線形共鳴機構（Resonance-assisted tunneling）に因るものではないことがわかる．この結果は，長らく論争の続いた近可積分系における確率増大の機構解明に大きなが手がかりを与える可能性がある．
2) エノン写像と呼ばれる，2自由度ハミルトン系を離散化して得られる2次元保測写像を結合した結合エノン写像がもつ２つの反可積分極限近傍での位相馬蹄条件および一様双曲性条件を調べた．適当は変数変換を導入することにより，Devaney-Niteckiらが用いた2次元エノン写像に対して用いた手法を参考に，結合エノン写像の非遊走集合の存在領域を特定した．また，結合エノン写像の結合項を一般化した写像に対しても同様の議論が適用できることを示した．２つの位相的に異なる反可積分極限が存在することは，多次元写像にしか起こり得ないことであることから，本研究の結果は多次元写像の理解に対する一つの手がかりを与えることが期待される．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題は近可積分ハミルトン系の古典および量子力学の動的特性をさまざまな観点から追求するものであるが，混合位相空間をもつハミルトン系のトンネル効果の研究はその中でも中心的な課題である．今年度，超微弱摂動系の高精度数値計算を実行することにより，古典実位相空間に非可積分性由来の構造が一切ないにも関わらず，固有関数のトンネルテールに非自明な構造が出現することを見出した．また，その構造が，系と周期的外場との量子論的な共鳴によって引き起こされることを明らかにした．この発見は，従来，混合位相空間におけるトンネル確率の異常増大の起源の一つと目されていた古典非線形共鳴機構（Resonance-assisted tunneling）の妥当性を検証する大きな手がかりに繋がることが期待されることから，極めて大きな前進と考える．一方，近可積分系の古典論の研究は少数自由度（2自由度）に関しては既に多くのことが明らかになっているが，自由度が上がると，その解析手法や有効な概念が限られているため明らかになっていることは多くない．本年度行った結合エノン写像の研究は，近可積分系の古典論を直接調べるのではなく，反可積分極限という，カオスが理想的に出現する極限を基点として近可積分系にアプローチするものである．現在のところ，結合エノン写像についても2次元エノン写像と同様，反可積分が存在することと，その近傍で，位相馬蹄型力学および一様双曲性という理想カオスが実現されていることを確かめたに過ぎない（ただし厳密に）が，結合エノン写像においては，反可積分極限としてトポロジカルに異なる二種類のものが存在することが明らかになったことはたいへん興味深い．この事実を手がかりに，多次元系固有の近可積分系の性質を明らかにすることが次なる課題として浮かび上がってくる．
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| Strategy for Future Research Activity |
最終年度，これまでの4年間で得られた結果を踏まえ，近可積分ハミルトン系の古典および量子力学をめぐる諸問題について以下の方針で研究を進める．1) 近可積分系の古典論の問題：結合エノン写像における2種類の反可積分極限がパラメータ空間でどのように繋がっているか，いかなる分岐によって繋がっているかを明らかにする．また，結合エノン写像の位相馬蹄条件，一様双曲性条件を満たすパラメータがパラメータ空間においてどのように分布しているかを，ホモロジー理論をつかった精度付き数値計算スキームをつかって調べる．また，過冷却液体・ガラス系における遅い緩和の起源を力学系の観点から研究する．我々はすでに，温度変化，密度変化に対する粘性の急増を特徴付けるVogel-Fulcher則が系の自由度の増大に関与することを明らかにしたが，さらにこの観点の研究を進める．その関連で，るランダム力学系との接点探る予定である．2) 近可積分系の量子論の問題：非可積分系のトンネル効果の非指数的依存性の起源を明らかにする．トンネル効果は，通常であれば，プランク定数に対して指数的に減少することが期待されるが，既に我々が明らかにしたように，非可積分系におけるトンネル効果は伸長指数関数的な依存性を示す．その異常性は非可積分系のトンネル効果を特徴付ける最も重要な性質であることが期待されるため，その発生機構を調べる．また，超微弱摂動系で見出されたトンネルテールの非自明構造を複素古典力学の観点から調べ，非可積分系のトンネル異常が，従来から信じられていた古典非線形共鳴機構（Resonance-assisted tunneling）ではないことを明らかにする．このことは，我々が先に提案した「複素安定多様体機構」による非可積分系のトンネル効果の特徴付けではない，新たなトンネル機構を提案することに繋がる．
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| Causes of Carryover |
(理由) 新型コロナウィルス蔓延のため，研究成果発表のための海外渡航を実施することができなかったことより，次年度使用額が発生し た.
(使用計画) ケンブリッジ大学で主催されている漸近解析に関する"Applicable resurgent asymptotics: towards a universal theory"に参加し，研究成果発表を予定している．
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