2018 Fiscal Year Research-status Report
A new approach to construct planar equal-mass three-body choreographic solutions
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17K05588
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| Research Institution | Tokai University |
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Principal Investigator |
尾崎 浩司 東海大学, 理学部, 教授 (00407991)
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2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 3体問題 / 等質量3体8の字舞踏解 / 分岐 / モース指数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究実施計画にある等質量3体平面舞踏解析解探しは，思っていた以上に難航し，学会発表や論文発表には至らなかった．そうした中，北里大学の福田宏・藤原俊朗が推進する等質平面3体問題における周期解の分岐研究プロジェクトに参加し，モース指数(作用積分の第2変分を演算子とする固有値方程式における負の固有値の個数)と斉次ポテンシャル下の等質量平面3体問題における8の字舞踏解から分岐した周期解との関わりについて研究した．得られた成果は以下の通りである．周期解の分岐点でモース指数は変化し，分岐を起こすすべての周期解は，モース指数の変化に応じた変分関数で近似できることがわかった．また逆に，モース指数が変化を起こすすべての点は解の分岐点であることも，斉次ポテンシャル下ならびにレナード=ジョーンズ・ポテンシャル下の8の字舞踏解ではいえることを，数値計算で明らかにした．
これら一連の成果を第12回アメリカ数理学会2018(Taiwan)，国際シンポジウムHAMSYS2018(Barcelona)で発表した．また"Morse index and bifurcation for figure-eight choreographies of the equal mass three-body problem"と題する論文が，Jounal of Physics A, Mathematical and Theoretical,Vol.52 185201(2019)に掲載された．
この仕事に並行して，等質量3体平面8の字舞踏解が起こす様々な分岐のうち，5周期分岐に着目し，分岐する解のうち舞踏解について対称性を調べた．この研究成果を第12回アメリカ数理学会2018(Taiwan)，応用物理学会2018年度総会にて発表した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
平成29年度末に立てた研究の推進方策に従い，平成29年度に選んだ座標比関数(1)c(t)=cn(t)+a*arctan[{cn(t)+cn(t+4K/3)+cn(t-4K/3}/b] に加えて，今回は(2)c(t)=sn(t+K)+a'*arctan[{sn(t+K)+sn(t+K+4K/3)+sn(t+K-4K/3)}/b']を試験関数に追加し，2次元重力下の8の字解析舞踏解を構成できるか否かを調べてきた(a,a',b,b'は第1種完全楕円積分Kで決まる定数)．(1)も(2)も，ヤコビの楕円関数の母数kが自由パラメーターになっているので，特定のkが2次元重力の運動方程式を満たすc(t)を与える可能性があり，時間をかけて調べた．残念ながら，結果はすべて否定的であった．
今回得られた知見が一つある．それは座標比関数sn(t+K)を定数倍すると，重心を原点に保ち，全角運動量をゼロに保ったまま，その座標比関数から作られる等質量3体の軌道が変形される，ということである．残念ながら，解析解へ至ることはできていない．ただし，重心原点，全角運動量ゼロという厳しい条件下で，軌道を変形しながら解析解を探るというこの手法は，今後役立つかもしれない．
ヤコビの楕円関数(一般の母数０＜k＜１)で表した座標比関数(1),(2)から得られる等質量3体舞踏解候補の周期4Kは母数kに依存するが，4Kを2次元重力下の数値解から得られる周期に等しいとおくと，純虚数の母数kが出てきて，0<k<1にならない．これは，元の等質量3体の運動方程式に対して時間と空間に関する適切なスケール変換が必要なことを示唆しているはずだが，その適切なスケール変換は見つかっていない．ここでの停留時間が長びいており，前進できずにいる．
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| Strategy for Future Research Activity |
この2年間は，主に等質量3体平面8の字舞踏解の解析的表式を探し求めてきた．等質量3体平面8の字舞踏解は，2016年に東海大の松田氏によって，(8の字運動の周期をTとするとき),T/3を周期にもつ関数c(t)と,T/6を周期にもつ関数λ(t)とで表されることがわかっている．λ(t)はc(t)の積分で書けるので，等質量3体平面8の字舞踏解の解析的表式探しは，適切なc(t)探しに帰着する．
2018年度の研究を通して，c(t)をμc(t)に変更し，パラメーターμを連続的に動かすと，軌道を変形できることがわかった．この性質を利用して，ほかのべき型重力の等質量3体平面舞踏解の解析的表式が「現在までの進捗状況」に掲げた(1)あるいは(2)から得られるかどうかを探りたい．
一方で，距離の3乗に反比例する強力重力下の等質量3体平面8の字舞踏解探索では，(1)でk^2=0.9592722964582358...に採ったc(t)は高精度数値解から得られたc_num(t)に2/1000にまで迫ることを確認した．c(t)とc_num(t)とから描かれる2つの8の字軌道は，PC画面上では区別ができないぐらい重なって見える．k^2をこの値に保ち，μを変化させてc(t)=c_num(t)が得られるかどうかを調べたい．
これに合わせて，可能であれば，複素時間の導入で，複雑化の一途をたどっている計算(特にc(t)からつくられるλ(t)の計算)が改善され得るかどうか，さらに，複素時間を使った場合，(1)や(2)からつくられる舞踏解候補が，いかなるタイプの重力ポテンシャルを示唆するかも調べたい．
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Research Products
(4 results)
