2018 Fiscal Year Research-status Report
凸最適化問題に対する問題構造を利用した効率的な劣勾配アルゴリズムの構築
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17K12645
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
伊藤 勝 日本大学, 理工学部, 助手 (90778375)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 凸最適化 / 一次法 / 加速勾配法 / 近接点法 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
凸最適化問題について問題構造に適応した劣勾配アルゴリズムの構築のため、近接点法と加速勾配法に基づく適応的な再出発法の構築や、凸最適化問題に関わる凸錐の幾何的な性質の解明に取り組んだ。
劣勾配アルゴリズムの構築に関して、目的関数が強凸とは限らない多くの応用問題においても成り立つことが知られている、ある種のエラーバウンドを考察した。このエラーバウンドのパラメータは、劣勾配アルゴリズムの収束率の加速に有用である。本年度はこのエラーバウンドのパラメータが未知である場合に適応する劣勾配アルゴリズムの研究を行った。研究成果として、近接点法と加速勾配法を組み合わせ、適応的に正則化パラメータを決定する再出発アプローチを確立した。先行研究ではエラーバウンドのパラメータを必要としていたものの、提案手法はパラメータに依存しない劣勾配アルゴリズムであり、エラーバウンドへの適応が可能となった。また、実用的な停止条件に基づく反復計算量の解析のため、一般化された勾配のノルムを停止条件として用いて解析を行った。反復計算量の解析により、提案手法はこの停止条件に対して準最適性が保証されることを証明した。特殊ケースに限定すると前年度に得られた成果と比較することができ、この場合は新たに近接点法のアプローチを加えたこととパラメータの推定手法を変更したことにより、反復計算量が改良できた。
また、問題構造に関する研究の副産物として、二次錐を含むある種の凸錐のクラスについて自己同型群の構造を明らかにした。この構造が明らかになったことにより、この凸錐上の最適化に対するアルゴリズムの開発や収束解析への応用が期待できる。この成果は国際学術論文誌に掲載された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
強凸性よりも弱い仮定のもとで収束率を高速化した劣勾配アルゴリズムの構築を目標としていた。本年度で考察したエラーバウンドはそのようなものの例であり、多くの応用問題において成立する。このエラーバウンドのパラメータに依存せずに、一般化された勾配を停止条件とした効率的な劣勾配アルゴリズムは知られていなかったが、そのようなアルゴリズムの構築や準最適な反復計算量の証明を与えることに成功した。以上のことから、本研究の進捗状況は研究計画に対して順調に進展している。
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| Strategy for Future Research Activity |
適応的な正則化による近接点法の利用によりエラーバウンドの構造を捉えられることがわかったため、この手法が適応可能な問題構造についてさらに研究を進めていく。また、近接点法と劣勾配法の組み合わせを用いたときの反復計算量解析についてより詳しく調べるため、正則化の劣勾配法に関わる基礎的な性質の解明を行う。
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| Causes of Carryover |
研究計画通りにほぼ全額を執行し、若干の次年度使用額が生じた。
次年度分の書籍の購入に充てる予定である。
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