2017 Fiscal Year Research-status Report
大規模固有値問題に対する高速かつロバストなアルゴリズムの開発に関する研究
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17K14143
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
相島 健助 東京大学, 大学院情報理工学系研究科, 特任講師 (40609658)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 数値解析 / 線形代数 / 固有値 / 逆問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
現代の情報処理分野において，行列の固有値に関する数値計算アルゴリズムの重要性は言を俟たないであろう．現在，これらの線形代数的な数値計算の標準的アルゴリズムは，線形計算の世界標準ライブラリLAPACKやARPACKにも実装され幅広く利用されている．申請者は，これまでこのLAPACKに実装されているQR法やdqds法および大規模疎行列向けのLanczos法等の理論的基礎付けを与えるとともにその改良を行い，高速な実装を与えることに成功している．本研究では，これらのアルゴリズムの高速化を図るとともに，これまでに得られた高速化に関する知見を関連する諸問題に応用し，高速かつ高精度な行列分解アルゴリズムを目指すものである．
本年度は，逆固有値問題の数値解法に有用なニュートン法に対して数学解析を行った．本研究では高次の収束速度の理論保証に必要な一般的な条件を明らかにしている．さらに，従来の標準的アプローチとは異なり逆固有値問題に内在する行列方程式に着目し，これを直接線形化することで高速数値計算アルゴリズムを新たに導出した．これにより，大規模逆固有値問題を数値的に解く上で，高速化のための技術を効果的に導入することが可能となった．その延長上に実際の計算の高速化も期待できる．さらに，逆固有値問題においても扱いの困難な重複固有値に対しても高速なアルゴリズムを導出している．その高次の収束の数学的証明に関して，行列方程式に対する安定性解析と部分空間における最適化の議論の高度な組み合わせにより技術的困難を克服した点は特筆に値する．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
最近提案された固有値問題に対する新たな数値解法を逆固有値問題に応用し，既存手法より高性能な解法を具体的に導出したことは本研究課題の全体の流れにおいても今後の新たな応用先が見つかることが期待でき，順調な進捗と言える．
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| Strategy for Future Research Activity |
固有値や特異値は現代理工学及び情報化社会において重要なものである．固有値計算や特異値計算に帰着する一歩手前の問題を直接解く技術は今後ますます重要視されるであろう．本年度の逆固有値問題の研究成果の方法論の応用として，例えば，情報推薦システムや深層学習，スパースモデルに対し，固有値計算の本質的な計算技術のみを抽出することで直接高速な解法を導出する予定である．
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| Causes of Carryover |
逆固有値問題について研究を行ってきた過程で，重複固有値に関する議論はその範疇に留まらず他の固有値に関する数値計算にも応用可能な最適化技法と期待できるためここを重点的に研究を行った．これにより当初の予定より逆固有値問題の研究に時間を割くことになり，研究成果を挙げることが急務となり発表は翌年に行う予定とした．実際，重複固有値に関する議論そのものにより論文が受理されており，今後，成果発表の面で助成金を利用していく予定である．
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Research Products
(4 results)
