2018 Fiscal Year Research-status Report
大規模固有値問題に対する高速かつロバストなアルゴリズムの開発に関する研究
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17K14143
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| Research Institution | Hosei University |
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Principal Investigator |
相島 健助 法政大学, 情報科学部, 准教授 (40609658)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 数値解析 / 線形代数 / 固有値 / 逆問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
人工知能の学習理論としての側面に焦点を当てた場合に，行列の固有値に関する数値計算アルゴリズムは極めて重要である．現在，これらの線形代数的な数値計算の標準的アルゴリズムは，線形計算の世界標準ライブラリLAPACKやARPACKにも実装され幅広く利用されている．申請者は，これまでこのLAPACKに実装されているQR法やdqds法および大規模疎行列向けのLanczos法等の理論的基礎付けを与えるとともにその改良を行い，高速な実装を与えることに成功している．本研究では，これらのアルゴリズムの高速化を図るとともに，これまでに得られた高速化に関する知見を関連する諸問題に応用し，高速かつ高精度な行列分解アルゴリズムを目指すものである．
本年度は，逆固有値問題に対し，前年度に対象とした問題からさらに一般化した問題に対する数値解法に有用なニュートン法に対して数学解析を行った．本研究では高次の収束速度の理論保証に必要な一般的な条件を明らかにしている．さらに，従来の標準的アプローチとは異なり逆固有値問題に内在する行列方程式に着目し，これを直接線形化することで高速数値計算アルゴリズムを新たに導出した．これにより，大規模逆固有値問題に対する高性能計算が可能となり，扱いの困難な重複固有値に対しても高速なアルゴリズムを導出している点は特筆に値する．この成果は動的モード分解のような近年注目されている技術にも関連し，つまり射影や次元削減に基づく技術としてとらえることが可能であり，実際，動的モード分解に対する高速化することができている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
多くの応用例をもつ逆固有値問題に対して前年度の結果を一般化したことで，現在の情報技術に直接導入可能な技術に近づいたと言える．
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| Strategy for Future Research Activity |
固有値や特異値は現代理工学及び情報化社会において重要なものである．本年度の逆固有値問題の研究成果の方法論の自然な応用として，情報推薦システムや深層学習，スパースモデルが考えられる．これらに対し，数値線形代数的な計算技術を応用することで高速な解法を導出する予定である．
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| Causes of Carryover |
逆固有値問題について研究を行ってきた過程で，重複固有値に関する議論はその範疇に留まらず他の固有値に関する数値計算にも応用可能な最適化技法と期待できるためここを重点的に研究を行った．さらに，標準固有値問題から一般化固有値問題への一般化と同様の考察を行うことでより応用範囲の広い解法を導出できることを明らかにした．これにより当初の予定より逆固有値問題の研究に時間を割くことになり，研究成果を挙げることが急務となり発表は翌年に行う予定とした．今後，成果発表の面で助成金を利用していく予定である．
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