2017 Fiscal Year Research-status Report
Vertex algebras as deformation quantization of jet bundles
| Project/Area Number |
17K14151
|
|---|
| Research Institution | University of Tsukuba |
|---|
Principal Investigator |
桑原 敏郎 筑波大学, 数理物質系, 助教 (60524725)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
|
| Keywords | 頂点代数 / BRST簡約 / ハイパートーリック多様体 / 有理チェレドニック代数 / マッキー公式 / 表現論 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
1. ハイパートーリック多様体は錘的シンプレクティック特異点の基本的かつ重要なクラスを与えるシンプレクティック多様体である。平成29年度の研究において、ドリンフェルト-ソコロフ簡約の類似となるBRST簡約を導入することでハイパートーリック多様体の普遍ポアソン変形族の上に頂点代数の層を具体的に構成し、その大域切断のなす頂点代数として我々がハイパートーリック頂点代数と呼ぶ新しい頂点代数の族を構成した。また、このようにして構成した頂点代数の構造を幾何学的・代数解析的な面から考察し、ズー代数と呼ばれる頂点代数に付随する結合代数がハイパートーリック多様体の量子化として知られている代数に一致することを証明した。
この結果は現在投稿中の論文にまとめた他、国内の研究集会などにおいて研究成果の発表を行った。
2. G(r,1,n)型の複素鏡映群に付随するヘッケ環やそれに対応する有理チェレドニック代数のに対して、マッキー公式と呼ばれる表現の誘導関手・制限関手の間に成立する関手の同型を証明した。この公式はコクセター群に付随する代数の場合には既に知られているもので、有理チェレドニック代数の表現論の研究に対して新しいアプローチを可能とする重要な道具である。
この結果をまとめた論文は現在投稿中である。この研究成果は、宮地兵衛(大阪市立大学)・和田堅太郎(信州大学)との共同研究に基づくものである。また有理チェレドニック代数の表現論における我々の公式の応用は、今後継続して共同研究が行われる予定である。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ハイパートーリック多様体に付随する頂点代数の構成とその性質の幾何学的・代数解析的な分析に関する研究は計画当初から初年度に遂行する研究の主要な部分であり、平成29年度の研究では計画時点ではわからなかった部分も含めて完全な証明を与えられたものと考えている。
また有理チェレドニック代数に対するマッキー公式は当初の計画には無かった研究であるが、有理チェレドニック代数の表現論の研究において有用な公式であり、また今後の研究計画の方向性のひとつは有理チェレドニック代数をズー代数として持つ頂点代数の構成であるため、今後の研究に寄与するものと考える。
これらふたつのはっきりとした研究成果を確立し、それぞれが今後の研究にも寄与する重要な結果であるため、研究計画はおおむね順調に進展しているものと考えている。
|
| Strategy for Future Research Activity |
平成29年度の研究において構成したハイパートーリック多様体に付随する新しい頂点代数の表現論の研究や、その可積分系への応用などを調べることは今後の研究のテーマのひとつである。またハイパートーリック多様体に対してはシンプレクティック双対がゲール双対という形で具体的に知られており、シンプレクティック双対の関係にあるふたつのハイパートーリック多様体に対して、それらに付随する頂点代数の表現論の間の関係を調べることは重要な問題となりうる。
有理チェレドニック代数に対するマッキー公式をその表現論に応用し、表現の圏の構造を調べることも今後の研究における課題のひとつである。これについては宮地兵衛(大阪市立大学)・和田堅太郎(信州大学)との共同研究で今後も進める予定である。
研究の基礎となる成果を平成29年度に確立したため、研究すべきテーマは豊富に広がっていて当面は研究計画の進行に支障はないと考えている。
|
| Causes of Carryover |
研究打ち合わせのために必要な出張旅費として使用する予定であった予算が共同研究者との日程の折り合いがつかなかったために年度内に出張することができなかった。平成30年度に研究打ち合わせのための出張旅費として使用する計画である。
|
