2017 Fiscal Year Research-status Report
Automorphisms and periods of K3 surfaces
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17K14156
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
橋本 健治 東京大学, 大学院数理科学研究科, 特任研究員 (00793986)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | K3曲面 / 自己同型 / 格子 / ミラー対称性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
K3曲面の研究を行った。研究内容は以下の通りである。
(1)楕円K3曲面で、大域切断をもつようなものについては、特異ファイバーの配置を射影直線上の24点とみなして、この配置の情報からもとのK3曲面を復元できることを示した。ただし、K3曲面は生成的なものとする。証明において鍵となるのは、ある種の楕円曲面のピカール数が4であることを示すことだった。これについては、まず特殊なピカール数6の楕円曲面を考えて、その変形を考察することで示すことができた。結果は論文（プレプリント）にまとめた。
(2)K3曲面のミラー対称性について、いくつかの具体的な完全交叉型のK3曲面の場合に何が起きているかを調べた。特に、ミラー対称性を調べる上で重要なピカール格子を決定した。
(3)エンリケス曲面の2重被覆としてのK3曲面について、その対称性（具体的にはある種の位数有限の自己同型）を調べた。特に、その射影モデルを具体的に与えた。ここで重要となるのは、自己同型で固定される偏極（豊富な線束）を見つけることである。そのために格子理論を応用した。
(4)K3曲面への応用を念頭に、 SageMath という計算ソフトについて学習し、格子の計算のためのプログラムを作った（オープンソースであり、開発には誰でも参加可能である）。正確には、既に実装されている関数を組み合わせて、K3曲面の研究にも応用できると思われる（なおかつ SageMath に加える意義が十分にあると思われる）新しい関数を作った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
現在までの研究では、具体例を考えて、それについて計算を行っているが、解決困難と思われる問題は発生していない。また、楕円K3曲面を退化ファイバーの配置から復元することの証明についても、楕円曲面についての局所トレリ定理を適応すればよいことがわかり、その他の問題も解決し、成果を得ることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
K3曲面の自己同型（特に位数が無限の場合）については、ピカール数2の場合はある程度研究が進んできた。今後はピカール数が3以上の場合について考察する予定である。また、K3曲面のミラー対称性については、具体例を十分に調べて、その結果を既存の結果と比較したり、一般化ができないかを検討する予定である。
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| Causes of Carryover |
研究のためにコンピューターを購入する必要が生じた（計算ソフトを使うために必要）が、次年度の助成金と合わせてコンピューターを購入するため。
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