2019 Fiscal Year Research-status Report

Automorphisms and periods of K3 surfaces

Research Project

Project/Area Number	17K14156
Research Institution	The University of Tokyo
Principal Investigator	橋本健治東京大学, 大学院数理科学研究科, 特任研究員 (00793986)
Project Period (FY)	2017-04-01 – 2021-03-31
Keywords	K3曲面 / 格子理論 / 自己同型 / 有限群 / 保型形式 / ミラー対称性 / クレモナ変換
Outline of Annual Research Achievements	K3曲面 X （複素数体上定義された）に有限群がシンプレクティックに作用しているとする。ここでシンプレクティック作用とは、コホモロジー H^{2,0}(X) への作用が自明であることを意味する。このような状況では、極大な11個の群があることが知られているが、そのような極大な群の、有限群としての（非シンプレクティックな）拡大の分類をした（Simon Brandhorst 氏との共同研究）。手法としては、格子理論を用いた。このような手法においては、存在は示すことができても、具体的な射影モデルが得られるわけではないが、（既に知られているものに加えて）いくつかの射影モデルを具体的に与えた。特に、最大位数 3840 をもつ群 M_{20}.C_4 の場合について、K3曲面の射影多様体としての定義方程式と、クレモナ変換としての群作用を具体的に与えた。結果は論文（プレプリント）にまとめて公表した。 K3曲面の無限自己同型群についても調べた（Kwangwoo Lee 氏との共同研究）。手法としてはやはり格子理論を応用した。特に、考えているK3曲面に対応した格子が、具体的な記述ができるような鏡映群を定める場合について詳しく調べた。その結果を用いて、対応する Salem 多項式がどのような形になるかも調べた。昨年に引き続き、完全交叉として得られるK3曲面について、特にミラー対称性の観点から調べた（Hwayoung Lee 氏との共同研究）。また、K3曲面の族と、対応する保型形式環の構造について調べた（植田一石氏、永野中行氏との共同研究）。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 研究計画において期待していた通りに、K3曲面への極大な有限シンプレクティック作用の拡大について十分に調べることができた。特に、最大位数の場合について射影モデルを見つけることができた。K3曲面の無限自己同型群についても、順調に結果が得られた。また、K3曲面の族に対応した保型形式環についても、いくつかの場合について研究が進んでいる。
Strategy for Future Research Activity	基本的には計画に沿って成果が得られているので、引き続き研究を進めていく予定である。
Causes of Carryover	今年度は当初の予定ほど学会・共同研究のための旅費を使わなかったが、次年度に旅費・物品（書籍など）に使う予定である。