2020 Fiscal Year Annual Research Report
Geometry of orthogonal modular varieties
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17K14158
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
馬 昭平 東京工業大学, 理学院, 准教授 (80633255)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | モジュラー多様体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は以下の研究を行った。
（１）ボーチャーズ積のリフト元のヴェイユ表現値モジュラー形式たちのなす無限次元ベクトル空間に新しく積を定義した。この積によってこの空間は結合的代数になるが、一般には積の単位元を持たず、可換ではない。可換になるのは２次形式がユニモジュラーの時である。非可換度が２次形式の複雑さとある意味比例していると考えられる。またこの環構造は、くりこみ制限操作によって、２次形式の埋め込みに関して関手的に振る舞うことも証明した。
（２）非特異射影多様体のねじれ係数の不分岐コホモロジーにフィルトレーションを導入した。最初のフィルターが整数係数特異コホモロジーのconiveauフィルトレーションで記述可能であり、Artin-Mumford不変量やColliot-Thelene-Voisin不変量の一般化になっている。コホモロジーの次数が偶数の時、次のフィルターはグリフィス群で制御される。
（３）直交型モジュラー多様体の変則カスプを研究した。安定直交群の場合に変則カスプを分類し、２次形式が特殊な形の時にのみ変則カスプが生ずることを確認した。一方で変則カスプが無限個の例で生ずることも証明した。変則カスプの存在は小平次元の研究に影響を与える。具体的には変則カスプにおいてカスプ形式の零位数が２倍必要となる。この事情を明らかにした上で、安定直交群の場合の計算と合わせて、既存の小平次元に関する結果は結果的に影響を受けないことを確認した。
（４）いくつかのモジュラー多様体のトロイダルコンパクト化の０次元カスプ上の点たちは互いに有理同値であることを証明した。
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