2019 Fiscal Year Research-status Report
トーリック多様体の双対欠損の組合せ論的記述に関する研究
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17K14162
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
伊藤 敦 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 助教 (90712240)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 双対欠損 / トーリック多様体 / アーベル多様体 / シジジー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該年度は主に以下の2つの研究を行った．
(1) 前年度はFlorin Ambro氏との共同研究で，多面体の逐次最小という不変量の類似として一般の代数多様体上の直線束に対しi番目のセシャドリ定数という不変量を定義しその性質を調べた．多面体の逐次最小は多面体の整数点の存在と直接関わっているため，その類似を通してトーリック多様体の双対欠損（特に多面体の内部整数点との関連）とi番目のセシャドリ定数に何らかの関係がないかを調べたが，残念ながら特に具体的な関連性を見つけることはできなかった．
(2) アーベル多様体上の高次シジジーについて研究した． Pareschi-Jiang氏は偏極アーベル多様体に対しbasepoint-freeness thresholdという不変量を導入し，その値が小さいならば偏極を与える直線束が固定点自由，もしくは射影的正規であることを示した． Caucci氏はその一般化として，その不変量が小さいならば偏極を与える直線束の高次のシジジーが消える（(N_p)と呼ばれる性質が成り立つ）ことを示した．
当該年度は，Caucci氏の結果を用いてLazarsfeld-Pareschi-Popa氏による(N_p)が成り立つ十分条件を改良することができた．具体的には，「乗数イデアルが一点の極大イデアルに一致するような適当な有効Q因子の存在すればよい」という条件を，「定数イデアルがある開集合上に制限すると一点の極大イデアルに一致する」と仮定を弱めてよいということがわかった．一見小さな違いであるが，仮定をそのように弱めることでそのようなQ有効因子を構成することが容易になった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
まだ正標数における双対欠損の良い記述が見つかっていないため．
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| Strategy for Future Research Activity |
標数0ではトーリック多様体の双対欠損の記述はいくつか知られている．Cayley構造やトロピカル幾何を用いた記述だけではなく，Gale双対やサーキットなどを用いた記述について詳しく調べる予定である．
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| Causes of Carryover |
3月に研究集会中止のため予定していた出張が取りやめになったため．翌年度もCOVID-19の影響で多くの研究集会が中止になっており，使用計画は未定である．
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