2018 Fiscal Year Research-status Report
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17K14163
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
疋田 辰之 京都大学, 数理解析研究所, 助教 (70793230)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | シンプレクティック特異点解消 / 楕円コホモロジー / 超幾何関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
これまでの研究ではシンプレクティック特異点解消の同変K群に対する標準基底と呼べるものを考えていた。その定義の鍵になる対合をこれまではOkounkovらによって定義されたK理論的な安定基底を用いて定義していたが、Aganagic-Okounkovによって安定基底の楕円コホモロジー版が定義されており、それを用いて対合の楕円版と呼べるものを定義することができる。そしてハイパートーリック多様体と呼ばれるシンプレクティック特異点解消の場合に標準基底の楕円版であると考えられるものを具体的に構成し、それがシンプレクティック双対性のもとでとある対称性を持っていることを観察した。この対称性はK理論版では潰れていて見えない現象であり、興味深いと考えられる。
また標準基底と超幾何関数の間の関係についても考察している。一般に量子コホモロジーを考えることで微分方程式系が得られ、同変K群の元からその微分方程式系の解を対応させることができる。例えばハイパートーリック多様体の場合にはGelfand-Kapranov-Zelevinskyの超幾何微分方程式系の特別なものが現れ、同変K群の固定点基底とGKZ超幾何の冪級数解を対応させる。このとき（既約表現に対応する）標準基底に対応する超幾何関数がEuler型の積分表示を持つことを発見した。例えば冪級数解とこの積分解では収束する領域が異なり、K群での固定点基底と標準基底の間の関係は微分方程式の言葉ではこれらの解の間の接続問題に相当していると考えられる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
特別な場合だけではあるが標準基底の楕円版の構成や超幾何関数との関係などは当初は期待していなかったことであり、今後の拡がりも期待できる興味深いものであると考えられる。その一方で研究成果の論文発表は遅れているため進捗状況は一段階下げている。
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| Strategy for Future Research Activity |
標準基底の楕円版については対合の一般化は分かっているが、K理論の場合に現れるそれ以外の条件による特徴付けの安直な類似は楕円の場合は役に立たないと思われる。まずハイパートーリック多様体の場合に分かっている答えを再現するようにその特徴付けを見つけるという問題が重要であると考えられる。そしてハイパートーリック以外の例についてもその計算を試みる。またハイパートーリックの場合の答えを観察すると頂点作用素代数との関係を示唆しているようにも思われる。このことの一般的な意味を模索するのも興味深い問題であると思われる。
超幾何関数との関係という方向では他のシンプレクティック特異点解消で似たようなことができるかどうかを考えるという問題がある。例えばA型の旗多様体の場合には文献に関係すると思われる積分表示があるため、標準基底に対応するサイクルがどうなるかという問題になる。これは標準基底の明示公式を与えるという問題とも関係しているため一般には難しい可能性が高いが、超幾何関数の積分表示が標準基底を調べる新しい視点を与えているとも言えるため考える価値はあると思われる。
またこの超幾何関数との関係は同変連接層の導来圏の上にBridgelandの意味での安定性条件の同変版を構成するという問題を考えている際に見つけたものであるため、当初の目的であった安定性条件の構成も今後の課題である。
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| Causes of Carryover |
前年度の未使用額があったため次年度使用額が生じた。これについては海外出張、あるいは小規模な研究集会を開くことで使用する予定である。
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