2017 Fiscal Year Research-status Report
New development of the theory of noetherian rings using spectra of abelian categories
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17K14164
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
神田 遼 大阪大学, 理学研究科, 助教 (50748324)
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2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | Grothendieck圏 / ネーター環 / アトム・スペクトラム / モレキュール・スペクトラム / 色付きクイバー / Artin-Schelter正則代数 / Calabi-Yau代数 / 点スキーム |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Grothendieck圏は環上の加群圏とスキーム上の準連接層の圏の共通の一般化である。与えられたGrothendieck圏に対して、直既約移入対象と深い関係にあるアトム・スペクトラム、および閉部分圏を用いて定義されるモレキュール・スペクトラムという本質的に異なる2つの位相空間が定義される。
研究代表者はこの2つのスペクトラムの間の関係を詳細に調べることで、それぞれのスペクトラムによって定義される被約性が互いに同値であること、これらの被約性が局所ネーター的スキームの被約性の一般化であること、さらに、同様の結果が既約性についても成り立つことを示した。アトム・スペクトラムによる局所化部分圏の分類の類似として、モレキュール・スペクトラムの開集合が局所閉な局所化部分圏と1対1に対応することを明らかにした。
色付きクイバーを用いてGrothendieck圏を構成する新たな手法を確立し、任意の有限半順序集合が、十分多くのcompressible対象を持つ局所ネーター的Grothendieck圏のアトム・スペクトラムとして実現されることを示した。
Alex Chirvasitu氏との共同研究では次数付き代数に対して、アトム・スペクトラムの重要な部分を占める点スキームについて研究した。ジェネリックな関係式を持つ次数付き代数に関するBrazfieldの予想を肯定的に解決した。
点スキームの研究に関連して、Alex Chirvasitu氏およびS. Paul Smith氏との共同研究では、Artin-Schelter正則代数およびCalabi-Yau代数の正規拡大について調べた。与えられたCalabi-Yau代数の中心拡大をすべて具体的に求める方法を確立し、それらが射影空間上の平坦族をなすことを証明した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
モレキュール・スペクトラムに関する基礎的な研究、アトム・スペクトラムとモレキュール・スペクトラムの間の非自明な関係、色付きクイバーを用いたGrothendieck圏の新たな構成法の確立、および点スキームおよび代数の正規拡大に関する共同研究のいずれにおいても結果を出すことができ、これらを計4本のプレプリントとして公表することができたことが理由である。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでに得られた結果をより発展させる。Alex Chirvasitu氏およびS. Paul Smith氏との共同研究も継続して実施する。
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| Causes of Carryover |
当初予定していなかった研究集会への参加の必要が生じたため、物品の一部の購入を延期したことから次年度使用額が生じた。翌年度の使用計画に大きな変更はないが、次年度使用額についてはNortheastern UniversityのAlex Martsinkovsky氏との研究打ち合わせに充てる。
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Research Products
(5 results)
