2017 Fiscal Year Research-status Report
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17K14167
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
三井 健太郎 神戸大学, 先端融合研究環, 助教 (70644889)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | トーサー / 主等質空間 / 代数群 / モデル / Galoisコホモロジー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
一次元関数体上の楕円曲線のトーサー（主等質空間）とその幾何学的モデルである楕円曲面に付随する不変量の計算法は長い研究を経て確立されてきた．楕円曲線の場合にしか知られていなかった結果を一般の代数群の場合へ拡張するために，代数群のトーサーに対して幾何学的なモデルの構成を試みた．具体的には，楕円曲線のトーサーから楕円曲面を構成する方法を，より一般の代数群の場合へ拡張した．トーサーを分類するGaloisコホモロジーは代数群上の有限次分離的閉点全体からなるGalois群の作用する群を用いて構成できる．このコホモロジーの元を底空間方向へ延長し，コホモロジーの元に対してモデルの概念を導入した．さらに，このコホモロジーの元のモデルから有限群による同変作用を作り，その商によりトーサーのモデルを構成した．より正確には，正規整スキーム上の滑らかな群スキームを基底変換して得られる関数体上の代数群をとり，その代数群のトーサーに対し，元の群スキームが作用するような対称性の高いモデルを構成した．また，このようなモデルが存在することと，コホモロジーの元にモデルが存在することは同値であることを示した．これらの同値な条件は代数群のトーサーを分類しているGaloisコホモロジーの元の持つ性質を用いて具体的に記述できる．さらに，コホモロジーのモデルの同型類を別に定義したGaloisコホモロジーを用いて分類し，特殊化によりトーサーを分類するGaloisコホモロジーへの写像を構成した．ここで用いたモデルの構成方法は，トーサー以外の代数群が作用している代数多様体の場合にも一般化できる．応用範囲を広げるために，より一般の場合も扱えるよう理論の整備を進めた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
一次元関数体上の楕円曲線のトーサーとその幾何学的モデルである楕円曲面についての古典的な研究成果を基に，一般の代数群の場合へ理論を拡張する研究を進め，代数群のトーサーに対して予期していた幾何学的なモデルが構成できた．さらに研究の中で，トーサー以外の代数群が作用している代数多様体の場合にも，モデルの構成方法を一般化できることが明らかになり，より応用範囲の広い理論の構築が期待できるようになった．
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの研究により代数群のトーサーに対し幾何学的なモデルを構成できた．楕円曲面に付随する幾何学的不変量の計算法は長い研究を経て確立されてきたが，それらの結果を一般の代数群のトーサーのモデルの場合へ拡張する．まず，モデルの幾何学的不変量を計算する方法を確立するために，モデルを構成する際に取る商や商写像に商特異点論や分岐理論を応用し，特異ファイバーの研究を進める．モデルとトーサーを分類している群コホモロジーとの関係を探るため，代数的手法だけではなくリジッド幾何やp進解析による解析幾何学的手法も応用する．さらに応用として，多様体の退化についてのコホモロジー判定法を代数群のトーサーの場合に与える．また，モデルが底空間上固有でない場合にモデルの相対的コンパクト化を試みる．
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| Causes of Carryover |
（理由）大学業務などにより共同研究者との都合がつかなかったため次年度使用額が生じた．
（使用計画）ボルドー大学やラドバウド大学などにおける共同研究のために使用する予定である．
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