2019 Fiscal Year Research-status Report
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17K14167
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
三井 健太郎 神戸大学, 理学研究科, 助教 (70644889)
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2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | トーサー / 主等質空間 / モデル / ネロンモデル / 楕円曲線 / 楕円曲面 / 特異ファイバー / 多重ファイバー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
代数的楕円曲面の特異ファイバーを研究し，小平次元０の楕円曲面を曲面やファイブレーションの不変量について分類した．小平次元を始めとする曲面の不変量は標準束から計算できる．標準束を求める標準束公式を応用するには，特異ファイバーから定まる底空間に関して局所的な不変量を求める必要があるため特異ファイバーを詳しく研究した．
特異ファイバーは重複度を持つとき多重ファイバーと呼ばれる．複素解析楕円曲面の場合には，全ての多重ファイバーは対数変換で構成可能である．また，代数的楕円曲面で基礎体の標数が０の場合には，全ての多重ファイバーは対数変換，代数化，ある種の局所大域原理で構成できることが知られている．正標数の場合には，局所完備付値環上の楕円ファイブレーションで多重ファイバーが構成できれば上述の局所大域原理を用いて大域化できるので，例を構成する際にも局所的な場合を研究する必要がある．算術幾何を応用して局所的な場合に，与えられたファイブレーションの不変量や，与えられた不変量を持つファイブレーションの非存在性を研究した．
一般に楕円曲面の小平次元は１以下である．小平次元が０以外の楕円曲面に関しては先行研究があり，有理曲面や多重種数が小さい小平次元１の楕円曲面についてはどのような特異ファイバーが現れるか知られていた．今回の研究では類似の結果を小平次元０の場合に得た．小平次元０の楕円曲面に現れ得る多重ファイバーの組み合わせはBombieriとMumfordにより研究され表が与えられていた．該当する全ての曲面を体系的に構成することで，表にある組み合わせのうちの一部は実際には存在しないことを示した．この非存在性については算術幾何を応用した別の方法でも証明し，その理論的背景を明らかにした．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
小平次元０の楕円曲面を分類する際，底空間に関して局所的な場合に与えられた不変量を持つファイブレーションの非存在性を示す必要があると予想していたが，実際には該当する全ての曲面を具体的に構成し，その特異ファイバーを詳しく調べることで直接的に分類を完成させることができた．また，局所的な場合の非存在性の証明も充分一般的な場合まで拡張し，曲面の非存在性の理論的背景を明確にすることができた．
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでに，群スキームが作用するモデルが底空間上固有でない場合に，群スキームが作用するようなモデルの相対コンパクト化を試みてきた．具体的には，中村郁氏の協力のもと，底空間がデデキントスキームであり，代数群が分裂トーラス還元を持つようなアーベル多様体の場合に，ネロンモデル全体が作用するような相対コンパクト化を一定の条件の下に構成した．これを一般化するのが１つ目の目標である．
２つ目の目標はトーサー上の閉点の次数評価である．近年の研究により，トーサーのモデルの特異ファイバーに関する研究結果を，トーサー上の閉点の研究へ応用できるようになった．代数群が可換である場合，トーサーを分類するGaloisコホモロジーは可換群になるので，トーサーに対応する元の位数Pが得られる．トーサー上の0-サイクルの最小正次数をIで表す．Pはコホモロジー論的なトーサーの複雑さを測り，Iは有理点を持たない代数多様体の複雑さを測る．IをPで上から評価する問題は，Brauer群の研究に端を発しこれまで様々な角度から研究されてきた．閉点の最小次数の評価はIの評価の精密化に繋がり，より困難であるが，モデルの幾何を解析することで，Pを用いて閉点の最小次数に良い評価を与えることを試みる．モデルへの切断は一般ファイバへの制限によりトーサーの次数１の有理点を与える．この事実の一般化により，モデルへの多重切断から，その制限により得られるトーサー上の閉点の次数を計算できる．この事実を応用し，トーサーとGaloisコホモロジーの関係を明らかにすることで，代数群のトーサーに関する上述の問題へ挑戦する．リジッド幾何を応用した特異ファイバーの研究により，0-サイクルよりも精密な閉点に関する結果が得られると期待している．
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| Causes of Carryover |
海外における研究打合せが延期になったため今年度中に使用する予定である．
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