2020 Fiscal Year Research-status Report
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17K14167
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
三井 健太郎 神戸大学, 理学研究科, 助教 (70644889)
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2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | トーサー / 主等質空間 / Galoisコホモロジー / モデル / ネロンモデル / アーベル多様体 / 有理点 / 閉点 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
正規整スキーム上の代数群の一般ファイバーは関数体上の代数群である．これまでの研究で，関数体上の代数群のトーサー（主等質空間）から正規整スキーム上の代数群が作用する対称性の高い幾何学的モデル（代数群作用を持つ代数多様体族）を構成したが，代数群が底空間上固有でない場合はモデルも底空間上固有ではなかった．モデルが底空間上固有である方が不変量計算の観点から扱いやすいので，付随する作用が拡張可能であるような対称性の高い相対コンパクト化の構成を試みた．この問題は代数群の同変コンパクト化問題と関係している．具体的には，中村郁氏の協力のもと，完備付値体上定義されたアーベル多様体のネロンモデルに対し，加法作用が拡張可能であるような相対コンパクト化を退化に関する一定条件下で構成した．
また，トーサー上の閉点の次数も研究した．近年の研究により，トーサーのモデルの特異ファイバーに関する研究結果を，トーサー上の閉点の研究へ応用できるようになってきた．代数群が可換である場合，トーサーを分類するGaloisコホモロジーは可換群になるので，トーサーに対応する元の位数Pが得られる．トーサー上の0-サイクルの最小正次数をIで表す．Pはコホモロジー論的なトーサーの複雑さを測り，Iは有理点を持たない代数多様体の複雑さを測る．IをPで上から評価する問題は，Brauer群の研究に端を発しこれまで様々な角度から研究されてきた．モデルへの切断は一般ファイバへの制限によりトーサーの有理点（次数1の閉点）を与える．この事実の一般化により，モデルへの多重切断からトーサー上の閉点が得られ，その次数を計算できる．閉点の最小次数の評価はIの評価の精密化に繋がり更に困難であるが，このようにモデルの幾何を活用し，Pを用いて閉点の最小次数に良い評価を与えた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
モデルに対し付随する作用が拡張可能であるような対称性の高い相対コンパクト化は不変量計算の観点から重要であり，完備付値体上定義されたアーベル多様体のネロンモデルの場合に大きな進展があった．また，トーサーについても閉点の最小次数の研究に進展があった．
一方，感染症流行のため予定していた研究協力者との研究打ち合わせが中止になったり他業務が増加したため研究完成に想定以上の時間を要している．また，参加を予定していた研究集会の中止や延期により研究成果の発表を円滑に行えなかった．
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| Strategy for Future Research Activity |
完備付値体上定義された半安定還元を持つアーベル多様体のネロンモデルに対し，双有理幾何学的な意味で極小な相対コンパクト化が得られただけでなく，ネロンモデルの加法作用が相対コンパクト化へ一意的に拡張可能であるという高い対称性も示せたため，当初よりも良い結果が得られたが，証明のステップが予定より多くなり論文の完成には至っていない．論文の共同執筆者である中村郁氏との研究打ち合わせを活発化させ論文を完成させる予定である．
また，多様体の退化に関するモノドロミー判定法を楕円曲線のトーサーの場合に与える研究も完成させる予定である．楕円曲線についてのこの判定法は良還元の場合や切断の存在する対数幾何的良還元の場合については既に知られており，これまでの研究で，一般の対数幾何的良還元の場合は閉点の次数やコホモロジー論的平坦性と関係していることを示した．この研究はArne Smeets氏と協力して進めており，論文も大方完成しているが，感染症流行のため校正作業に遅れが生じている．出張による研究打ち合わせが可能になるか不確実なため，オンライン会議も活用して研究打ち合わせを活発化させ，論文を完成させる予定である．
モデル自身の研究については，モデルの分類に関する本研究の結果により，長らく正しいと信じられていたモデルの一意性に関する論文の誤りを訂正できることがわかったので，具体的に反例を構成し，その事実について執筆する予定である．より具体的には，これまでの研究で，代数群が底空間上固有な場合にはモデルが一意的に存在するが，底空間上固有でない場合にはモデルが存在したとしても一意的であるとは限らず，モデルの同型類はGaloisコホモロジーを用いて分類できることを示した．モデルを応用した閉点の最小次数を求める研究にも関係しているので論文の完成を急いでいる．
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| Causes of Carryover |
感染症流行のため予定していた研究協力者との研究打ち合わせが中止したり他業務が増加したため研究完成に想定以上の時間を要している．また，参加を予定していた研究集会の中止や延期により研究成果の発表を円滑に行えなかった．出張による研究打ち合わせや研究成果の発表が可能になるか不確実なため，オンラインによる研究や会議の環境を整え研究打ち合わせを活発化させ研究を完成させる予定である．
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