2018 Fiscal Year Research-status Report
Arithmetic non-linear differential equations and Frobenius structure
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17K14170
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
宮谷 和尭 広島大学, 理学研究科, 助教 (10711145)
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2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 超幾何微分方程式 / 数論的D-加群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
前年度に得ていた、数論的超幾何 D-加群に関する結果について、次のような進展があった．
Z_p の元らをパラメーターとする（p-進）超幾何微分方程式の定める数論的 D-加群を考える．前年度の研究では、パラメーターの生成する Z_p の部分群に p-進 Liouville 数が存在しないならば、この数論的 D-加群が階数 1 の簡単な D-加群から函手的操作で得られることを明らかにした．今年度の研究では、さらにその数論的 D-加群が overholonomicity という一種の有限性を満たすことがわかった．（パラメーターに関するこの仮定は、たとえばパラメーターが全て代数的数であれば満たされる．）overholonomicity は、一般にはいわゆる「六つの函手」のうち五つの函手でしか保たれず、具体的な数論的 D-加群が与えられたときそれが overholonomicity を持つかどうかを判定することは難しい．実際、超幾何 D-加群の場合、これまでに overholonomicity が示されているのはパラメーターが有理数の場合のみであった．（このときは超幾何 D-加群が Frobenius 構造を持ち、Frobenius 構造を持てば overholonomicity は六つの函手で保たれる．）
今年度の研究では，overholonomicity のかわりに Caro による quasi-Σ-unipotence の理論を援用し、階数 1 の場合に帰着することにより、当該の結果を得ることができた。
なお、前年度の結果そのものについても、パラメーターの満たすべき p-進 Liouville 数にまつわる条件を少し緩和できることが分かった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
超幾何微分方程式の定める数論的 D-加群については研究の進展があった。超幾何微分方程式は重要な非線形微分方程式と深く関係しており、本研究は非線形微分方程式の数論的側面の理解を深めるための重要なステップであったと言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
数論的な超幾何微分方程式の Frobenius 構造については、パンルヴェ方程式ではなくほかの非自明な 1 階の非線形微分方程式についてもさらなる考察を進める．
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| Causes of Carryover |
物品について、前年度までに購入した物品等で賄うことができたことが、次年度使用額の生じた主な理由である。旅費についてもわずかに見込みよりも下回った。次年度使用額は物品費と旅費の双方に活用する。
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Research Products
(3 results)
