2017 Fiscal Year Research-status Report
整凸多面体のCayley分解を巡る構造解析及び関連する諸問題の解決
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17K14177
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| Research Institution | Kyoto Sangyo University |
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Principal Investigator |
東谷 章弘 京都産業大学, 理学部, 准教授 (60723385)
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2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 整凸多面体 / Cayley分解 / Ehrhart多項式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題の目的は、整凸多面体のCayley分解の組合せ論的構造の解析、および、関連する諸問題の解決である。最終目標は、Cayley分解の完全解決、および、Cayley分解とEhrhart多項式の関連性の完全解明である。平成29年度の具体的な研究課題の１つとしては、特殊な条件下での整凸多面体のCayley分解の考察、および、具体例の計算などが挙げられる。
Cayley予想が成立しない反例が存在するとすれば、そのような反例は「次数」の小さい整凸多面体であろう、と予想していた。そこで、整凸多面体の「次数」と呼ばれる不変量に注目して研究を行った。その結果、次元を固定したときに次数が最も小さくなる整単体の構造を完全に特徴付けることに成功し、その副産物として、Cayley予想の反例の構成に成功した。その研究成果は、単著論文“Lattice simplices of maximal dimension with a given degree”にまとめており、すでに採録決定済みである。
一方で、もう１つの研究課題であるCayley分解とEhrhart多項式の関連性を明らかにするために、平成29年度は整凸多面体のEhrahrt多項式の研究にも尽力した。具体的には、Ehrhart多項式の根の性質に着目し、反射的凸多面体のEhrhart多項式の根に関する詳細な研究を展開した。結果として、有限グラフに付随するある反射的凸多面体のEhrhart多項式の根の実部が全て-1/2になることを証明した。その結果は共著論文“Interlacing Ehrhart polynomials of reflexive polytopes”にまとめている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
本研究課題の最終目標の１つに「Cayley予想の完全解決」を挙げていたが、平成29年度の研究により、Cayley予想の反例を発見することに成功した。つまり、予想されていたCayley分解の成分数の下限が正しくないことが判明した。加えて、Cayley予想が成立しない反例を系統的に構成することにも成功しているので、最適な下限の候補も見つけることにも成功している。これらの研究成果は、単著論文“Lattice simplices of maximal dimension with a given degree”にまとめており、すでに採録決定済みである。これは当初の計画以上の研究の進展である。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成29年度の研究により、当初のCayley予想の反例を構成することに成功し、さらにその反例を用いて当初のCayley予想で予想されていたCayley分解の成分数の下限を修正することで、新たなCayley予想を提唱した。その予想は論文“Lattice simplices of maximal dimension with a given degree”においても記載している。
今後は、自ら提唱した修正版Cayley予想の完全解決に向けて研究を進める。同時に、本研究課題のもう１つの最終目標である「整凸多面体のCayley分解とEhrhart多項式の関連性の解明」にも努める。
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| Causes of Carryover |
年度をまたぐ出張を行ったため、平成29年度分の旅費の一部を次年度に回し、次年度の予算から計上した。
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