2018 Fiscal Year Research-status Report
整凸多面体のCayley分解を巡る構造解析及び関連する諸問題の解決
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17K14177
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| Research Institution | Kyoto Sangyo University |
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Principal Investigator |
東谷 章弘 京都産業大学, 理学部, 准教授 (60723385)
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2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 整凸多面体 / symmetric edge polytope / Ehrhart多項式 / h^*列 / unimodal性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題の目的は、整凸多面体のCayley分解の組合せ論的構造の解析、および、関連する諸問題の解決である。最終目標は、Cayley分解の完全解決、および、Cayley分解とEhrhart多項式の関連性の完全解明である。平成30年度の具体的に取り組むこととしては、様々な整凸多面体に関する計算実験の実施、及び、最新の研究結果と専門知識の情報収集があげられる。
具体的な格子凸多面体のクラスとして、有限グラフに付随する反射的凸多面体である“symmetric edge polytope”と呼ばれる対象に注目して重点的な研究を実施した。より具体的に、完全二部グラフに付随するsymmetric edge polytopeのEhrhart多項式を一般に求めることに成功した。実際には、Ehrhart多項式と同値な対象であるh^*列（Ehrhart多項式の母関数の分子に現れる多項式の係数）を求めた。Ehrhart多項式を得るために、代数的・幾何的・組合せ論的な多様な道具が使われている（グレブナー基底、half-open 分解、二部グラフの４彩色など）。このように多様な道具を同時に用いて公式を得るという手法は、公式そのもの以上に興味深い研究であると言える。それらの研究成果は、共著論文“Arithmetic Aspects of symmetric edge polytopes”にまとめており、すでに採録決定済みである。この結果は、前年度の研究成果である共著論文“Interlacing Ehrhart Polynomials of Reflexive Polytopes”を一般化した結果であり、前年度よりさらに研究が進展したと言える。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
上記の「研究実績の概要」で述べた通り、平成30年度の研究により、平成29年度の研究成果をさらに一般化することに成功した。確実に研究が進展していると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成30年度の研究により、具体的な整凸多面体のクラスであるsymmetric edge polytopeのEhrhart多項式に関する詳細な研究が完成した。それらの研究成果を踏まえ、今後は、本研究課題の核である「Cayley予想」との関連について更なる研究を継続して行う。
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