2017 Fiscal Year Research-status Report
`Nice' partitions and eigenvalues of the Laplacian
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17K14179
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
船野 敬 東北大学, 情報科学研究科, 准教授 (40614144)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 巨視的スカラー曲率 / 双曲多様体 / 極小曲面 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
オハイオ州立大学のハンナ・アルパート氏との共同研究で巨視的スカラー曲率と極小曲面についての研究を行った。スカラー曲率は考える空間の球体の体積の半径が０に近い場合の振舞いと関係しているが巨視的スカラー曲率では球体の体積の半径が１の場合を取り扱う。この観点からスカラー曲率からは空間の大域的な性質を導くのは難しいが巨視的スカラー曲率では空間の大域的な性質を導けることが期待される。実際にマサチューセッツ工科大学のラリー・グース氏によりスカラー曲率の仮定の下で未解決のシェーン予想が巨視的スカラー曲率の仮定の下で示されている。本研究では単位円と閉曲面の直積に関してスカラー曲率の場合に知られていたクロンハイマ―・ムロッカの結果を巨視的スカラー曲率の場合に示した。彼らの結果は考える空間の余次元１の面積に関するものであり、安定な極小曲面の安定性の不等式を用いて証明が行われている。我々はこの証明をヒントに巨視的スカラー曲率の場合について閉曲面を任意次元のコンパクト双曲多様体に置き換えてクロンハイマ―・ムロッカの結果を示すことができた。巨視的スカラー曲率の研究はラリー・グースの研究以外にまだ知られていなく、この研究によって今後の巨視的スカラー曲率の研究の可能性について期待ができるようになったことは意義があることのように思える。また当該研究結果はGeometric and Functional Analysisという幾何学の論文雑誌に掲載された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
着実に成果があがっていおり、論文雑誌にも成果が掲載されたためこの区分とした。
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| Strategy for Future Research Activity |
ラプラシアンの固有関数についての分布についての研究を行う。分布を調べる際に固有関数のレベル集合が鍵になるが、そのなかでも零集合に着目する。ラプラシアンの固有関数の零集合の補集合の連結成分は節領域と呼ばれているが、節領域の境界にどのくらい測度が集中しているかという集中不等式を示す。その集中不等式と固有関数の勾配評価を用いて固有関数の零の周りでの集中について調べる。応用としてSoggeにより得られた固有関数の逆ヘルダー不等式を示す。
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