2018 Fiscal Year Research-status Report

`Nice' partitions and eigenvalues of the Laplacian

Research Project

Project/Area Number	17K14179
Research Institution	Tohoku University
Principal Investigator	船野敬東北大学, 情報科学研究科, 准教授 (40614144)
Project Period (FY)	2017-04-01 – 2021-03-31
Keywords	測度集中 / ラプラシアンの固有関数 / リーマン多様体
Outline of Annual Research Achievements	東北大学材料科学高等研究所の櫻井陽平氏と共同で閉リーマン多様体上のラプラシアンの固有関数の値の分布に関する研究を行った。ラプラシアンの固有値や固有関数の情報は偏微分方程式の解の形状を理解するためにも重要であるが、近年では山辺の問題や極小曲面論等の研究で現れる対象として幾何学的にも重要となっている。ラプラシアンの固有関数の値の分布に関しては、零集合の測度に関するYauの予想、エルゴード性定理、Meckesによる標準ガウス測度との比較、Soggeによる準古典解析を用いたLpモーメントの評価などが知られていた。今回の研究では測度集中の手法を用いて固有関数の値の分布の研究に取り組んだ。結果として固有関数の節集合の周りの指数型集中不等式やSogge型Lpモーメント不等式を得ることができた。今までの結果と比べてこの手法は新しく、これらの不等式は量的であることが特徴であり、節集合の周りでの指数型集中不等式に用いた手法は固有関数以外にも適応できる可能性があることがわかった。当該研究で得たSogge型Lpモーメント不等式はColding-Minicozziの手法を用いると上記のYauの予想とも関係し、Yauの予想へのアプローチの可能性のひとつとして意義があると思われる。また当該研究結果はProceedings of the American Mathematical Societyという論文雑誌に掲載された。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 着実に成果があがっていおり、論文雑誌にも成果が掲載されたためこの区分とした。
Strategy for Future Research Activity	ラプラシアンの固有値の上からの評価について研究する。Chung-Grigor'yan-Yauの結果によると閉リーマン多様体のラプラシアンの固有値は上から部分集合の情報を用いて評価される。この不等式は最良であると思えず、まだ改良の余地があるように思われる。またDirichlet境界条件を課した場合の固有値やp-Laplacianの固有値についても考察する。
Causes of Carryover	大学の業務等により当該研究と関連する海外の研究会などへの出張に行けなかった時があったため。また当該研究関連書籍等の購入をしていなかった。翌年度は海外の研究会等に出向き積極的に海外の研究者と研究交流を図るという用途で使用していきたい。また研究関連書籍等の購入もおこなう予定である。