`Nice' partitions and eigenvalues of the Laplacian

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 17K14179
• Research Institution: Tohoku University
• Principal Investigator: 船野 敬 東北大学, 情報科学研究科, 准教授 (40614144)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: ラプラシアン / 固有値

Outline of Annual Research Achievements

ノイマン境界条件下でのラプラシアンの固有値の領域単調性について空間の分割を用いて研究を行った。ディリクレ境界条件下ではクーラントのミニマックス原理によりすでに知られている結果であるが、ノイマン境界条件下では知られていなかった。一般にノイマン境界条件下では領域単調性は成立しないが二つの領域を凸領域に絞り定数倍を許すと成立することがわかった。また得られた不等式は普遍定数倍を除いてシャープであることもわかった。ノイマン境界条件下ではラプラシアンの固有値と分割の間に関係があることがGromovやBuserによって知られておりそのことと凸性を用いることにより示すことに成功した。ラプラシアンの固有値と固有関数は熱方程式などの偏微分方程式の解の情報を知るうえで重要であり領域単調性の今回の結果は領域の包含関係により解がどうなるかの一つの情報を与えるので意義はあると思われる。これら偏微分方程式の解への応用は今後の課題である。また外側の領域を一つ固定した場合、領域単調性の式に現れる定数倍がどのようになっていくのかいつ最良となるのか、リーマン多様体内の領域に拡張することが今後の課題である。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

領域の分割を用いた領域単調性の結果をえたため

Strategy for Future Research Activity

外側の領域を固定したとき（例えばlp球など）、領域単調性の不等式の最良定数を求める研究を行う。その際に領域ごとに適した分割を取るか固有値に関する新たな不等式を導くなどして示していく予定である。また偏微分方程式の解の形状に対する応用やリーマン多様体内の領域に関する単調性の研究も行いたい。その際にリーマン多様体内のボロノイ図の研究が必要となりそうなので新たな道具の開発も行う予定である。

Causes of Carryover

対面での研究集会が少なくまたコロナ禍ということもあり対面での研究打ち合わせもできなかった。今後は書籍やコロナがおさまった時の研究会、研究打ち合わせの出張費として使用していく。