2023 Fiscal Year Annual Research Report
`Nice' partitions and eigenvalues of the Laplacian
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17K14179
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
船野 敬 東北大学, 情報科学研究科, 准教授 (40614144)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | ラプラシアンの固有値 / 凸領域 / 領域単調性 / リッチ曲率 / 普遍不等式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ユークリッド空間の凸領域上のラプラシアンの固有値に関する領域単調性の研究を行った。ディリクレ境界条件の下での固有値に対しては領域の凸性等の条件なしで領域単調性が従うが、ノイマン境界条件の下では領域単調性は一般には成り立たない。そこでノイマン境界条件の下で一方が他方に含まれる二つの有界凸領域を考え、固有値の比較を行った。この条件下で次元による定数倍を除いて領域単調性が成り立つことを示した。また証明の際に新たに作った補題により非負リッチ曲率を持つリーマン多様体の凸領域でのラプラシアンの固有値の上からの評価をノイマン境界条件の下で得た。これはポリヤ予想とも関連している評価で閉リーマン多様体の場合にはリー・ヤウによって得られていたものである。証明ではノイマン境界条件下でのラプラシアンの固有値とその領域の分割、あるいは部分集合の情報が密接に関連していることを用いた。また道具として境界集中不等式の手法を新たに開発した。これらの結果については論文にまとめIllinois Mathematical Journalに掲載された。
またユークリッド空間の凸領域上のラプラシアンの固有値の間の普遍不等式について研究を行った。ディリクレ境界条件の下では凸性の仮定無しで様々な固有値の間の普遍不等式が知られている。ノイマン境界条件の下では一般に固有値の間に関係性はないことが知られているが、領域の凸性の仮定の下で第k固有値と第k+1固有値の間の不等式を示すことができた。その際に新しい固有値の上からの評価を得ることができた。このことについて論文にまとめCanadian Mathematical Bulletinに掲載された。
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