2018 Fiscal Year Research-status Report
Research of handle decompositions of 4-manifolds and Dehn surgeries
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17K14180
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
丹下 基生 筑波大学, 数理物質系, 助教 (70452422)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | スライスリボン予想 / レンズ空間手術 / 埋め込まれた曲面 / Lagrangian disk |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度はスライスリボン予想に関する研究をハンドル分解を用いた議論に基づいて行った。これまでは、任意のスライス円盤に関するハンドル分解のmoveに制約をつけることで、予想にアプローチしていたが、そのような制約なしに、スライス円盤のもつ新しい構造:修正されたキャンセリングペアを定義することで、予想の核心となる部分をあぶりだすことに成功した。この結果はスライスリボン予想を解決する上での1ステップになると考えている。次年度以降、この核心となる部分を詳しく解析していくことで予想にアプローチすることになる。
３月に研究集会「微分トポロジー19」を行った。この研究集会は、４次元多様体に埋め込まれた曲面についての集会であり、そこで議論された手法は、多くの部分においてスライスリボン予想における現在の研究につながるものであり、今後の研究の進展に関係する。
昨年度から執筆しているホモロジー球面内のレンズ空間手術における研究を論文Homology spheres yielding lens spacesとしてまとめた。この論文は、Proceedings of Gokova Geometry /Topology conference 2017に掲載されることになった。
上海交通大学のYoulin Liと、Lagrangian diskに関する共同研究を行った。この研究により、お互いsmoothにisotopicではないLagrangian diskが存在することが証明できた。この例は、これまでHamiltonian isotopicではないことが示されていた例であり、今回は、その結果を強めた結果になった。
ホモロジー球面のホモロジー同境類に関する研究を行い、E_8種数は同じだが、いくらでも大きいcorrection termを持つホモロジー球面を構成した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究のスライスリボン予想に関する研究は、ハンドル分解の理論と結びついていることが他の多くの研究とは違い独創的な点であった。しかし、これまで、そのアイデアを生かすような決定的な結果を残すことができなかった。例えば、あまりリーズナブルではない条件を付与することで結果を得ていた。しかし、本年度得られた結果は、そのような条件なしに、成り立つハンドル分解の構造に着目することができた点が大きい。この方向性に着目できたおかげで、次のステップに進むことができたと考えている。
レンズ空間に関する問題は大分整理され、統一的な手法が用いることができるようになった。多くのホモロジー球面においてレンズ空間を生じさせる結び目を構成することができた。この手法をさらに推し進めることで、双曲構造をもつホモロジー球面にもレンズ空間手術においてどのような現象が起こっているのかをつきとめることができるはずである。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究としては、修正されたキャンセリングペアを詳しく解析することになる。まずは、この対象を簡単な変形を組み合わせて、標準的な形にもっていくことができるかどうかを考察する。さらに、標準形からいくつかの操作を用いて、はめ込まれた曲面がどのように外れるべきかを考察する。
これにより、困難な部分があるとすると、ある結び目的現象が現れるはずである。このような状況から、結び目の不変量を用いてそのような状況を捉えることができるかについて議論をする必要がある。ミルナー不変量のような多くのコンポーネントに応じて絡まる状況が予想される。そしてその不変量を計算することで、円盤が絡まっているのか、またハンドル分解から外すことができないのかについて議論をする。
今年度は４次元多様体内の曲面についての関連した研究も進める。これは、Mark HughesらによるGluckツイストに関する研究にインスパイアされており、多くの点で、本研究と似通っている。彼らの研究は河内明夫氏による研究とも関連しており、４次元多様体に埋め込まれた曲面における深い洞察のもと行われていると考えている。この手法や考え方を身に付けることで、これまで４次元多様体において多くの状況でブラックとされて来た部分に光をあてることができるのではないかと考えている。
これまで、レンズ空間手術に関する計算結果がある。この結果をまとめて論文にすることで、Homology spheres yielding lens spaces IIとしてまとめる予定である。他、レンズ空間手術に関する分類問題における結果も整理して論文に直すことを考えている。
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| Causes of Carryover |
3月末に行われた研究集会において謝金などを規定額出資しており、予算において端数の金額が存在することとなった。その場合、消耗品を購入予定でもあったが、その消耗品は研究により必要のないものであることが判明したため、購入には至らず、完全に使い切ることができなかった。
これらの金額は、次年度の低次元トポロジーの研究において必要な物品の購入として用いる。
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