2020 Fiscal Year Research-status Report
Research of handle decompositions of 4-manifolds and Dehn surgeries
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17K14180
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
丹下 基生 筑波大学, 数理物質系, 准教授 (70452422)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | スライスリボン予想 / レンズ空間結び目 / ホモロジー球面 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
前年度までは、レンズ空間手術についての研究を行った。正整数手術によってレンズ空間をもつ結び目をレンズ空間結び目という。レンズ空間結び目はアレクサンダー多項式を用いて分類をすることができる。既存の結果では、アレクサンダー多項式の最高次数が1であり、2番目の係数が-1であることが分かっていた。今年度は3番目と4番目の係数についての解析を行った。3番目の係数が1であるとき、(2,2n+1)-型のトーラス結び目もしくであり、4番目の係数が1の場合、(3,3n+1)-型もしくは(3,3n-1)-型のトーラス結び目、もしくは、ある双曲結び目の族であることが示された。つまりこれらのレンズ空間手術があるアレクサンダー多項式の係数によって特徴づけることができる。
これらの結果について、論文を書き、前半の結果については、Hiroshima Math. Journalの方に掲載された。後半の結果については、現在執筆中である。これらの結果を足掛かりにして、レンズ空間結び目のあるアレクサンダー多項式による分類を行うことができるようになった。
ホモロジー球面から得られるレンズ空間についての計算を行った。Σ(2,3,11)とΣ(2,3,13)の中のレンズ空間結び目の族を書き出し、その族についての研究を行った。
また、4次元多様体の研究においては、コルクツイストによって、OS-不変量にある有限性を持つことを示していたが、今回の研究でその有限性を境界のホモロジー球面のフレアホモロジーの情報から評価することができた。それらの結果について、現在執筆に取り組んでいる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
前年度に行われたOISTにて参加した研究集会において寺垣内氏と有益な議論を行い、研究を進めることができた。またその後の発展について多くのことにつながった。この研究の主題であってnon-zero曲線による分類において新しい手法を開発することができた。また、このことから、Greene氏のレンズ空間に分類に関する論文とのつながりについて深く考察するきっかけとなることができた。またこの問題に関する論文を執筆し、発表することができことでレンズ空間手術に関する研究を進展させることができた。
また、コロナウイルス蔓延のおかげか、多くの集会がオンライン化され、前より多くの研究集会に参加しやすくなった。また自ら主催した集会には多くの研究者を呼ぶことができ、多くの議論をすることができたことも収穫の１つと考えている。また、主催セミナーでは、海外の研究者を招待し、講演を行ってもらうこともできた。例えば、Savkにハンドルセミナーで講演をしてもらったことで、有理ホモロジー球体を構成するヒントがあったのでそれをこの研究の場合に生かせる。
また、ゲージ理論などの研究集会を開き、その解析的な内容について理解することができたことが多くの収穫だった。
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| Strategy for Future Research Activity |
また、レンズ空間結び目のデーン手術による分類を行う。この研究主題である。non-zero曲線の理論を発展させる。一方、Greeneによるchangemaker latticeの手法を習得し、それを我々のnon-zero曲線を用いたレンズ空間結び目の分類に応用させる。これらの間には関係性が知られていなかった。どちらも複雑に見えるが、何かしらの対応があると考える。Greene氏の論文を読み、理解することで、少しずつ両者の関係性を探る。何かまとまった関係性に着目できれば、Greene氏と議論をして進める可能性もある。
また、私はHomology spheres yielding lens spacesで、ある特殊なブリースコーン球面に対して、レンズ空間を産む結び目を具体的に記述する論文を書いたが、この内容からさらに発展させ、多くの例をこれまで計算してきた。いくつかのブリースコーン球面の手術をヒーゴールフレアホモロジーを用いた公式を求めることができた。また、双曲構造をもつホモロジー球面に対しても多くの例を構成した。それらをまとめて論文を執筆する。
スライスリボン予想に関する研究を進める。3ハンドルが2ハンドルの上に乗る多くのケースを考えることで、どのように3ハンドルの障害が回避できるかについて考察を進める。また、スライドをしたときにどのようにダイアグラムの補空間が映りあうか？またそのとき結び目はどのような位置づけになるかについて考察を勧める。
いくつかのブリースコーンホモロジー球面に対して、その球面をboundをする可縮な多様体の構成法を考察する。また、有理ホモロジー球体ではどうかを考える。
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| Causes of Carryover |
前年度にはコロナウイルスが蔓延し、計画していた研究集会の開催や、研究集会への出張が取りやめになったため、旅費を使うことができなかった。
そのため、多くの科研費を使うことができなかったためである。
次年度には、また開催される研究集会への旅費に用いたり、国際研究集会を開催し、研究者を招待するために用いる予定である。
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Research Products
(8 results)
