2017 Fiscal Year Research-status Report
特殊なホロノミー群を持つ多様体の錘特異点を持つ部分多様体の研究
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17K14181
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| Research Institution | Gakushuin University |
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Principal Investigator |
河井 公大朗 学習院大学, 理学部, 助教 (60728343)
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2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | モジュライ空間 / special holonomy / Hessian計量 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
幾何学において、与えられた集合にどのような構造が入るかというのは興味深い問題の１つである。幾何構造の変形のモジュライ空間には、多くの場合自然なリーマン多様体の構造が入ることが知られている。とりわけ、特殊なホロノミー群を持つリーマン多様体や、その部分多様体のモジュライ空間に入る幾何構造を調べるのは興味深い。今年度は、リーマン多様体としての観点から、モジュライ空間に入る幾何構造を調べた。
１．ラグランジュ部分多様体のモジュライの場合：部分多様体のモジュライ空間の曲率に関するMichor-Mumfordの論文をもとに、ラグランジュ部分多様体のモジュライ空間の計算を行った。それはGreen関数とその微分を含むもので記述できた。
２．コホモロジーに局所的に埋め込める多様体、部分多様体のモジュライの場合：特殊ラグランジュ部分多様体など、とりわけ良いクラスのモジュライ空間は、有限次元多様体になり、コホモロジーに局所的に埋め込むことができる。つまり、モジュライ空間を平坦な空間の部分多様体として捉えられる。更にモジュライ空間上の自然な（擬）計量は、その部分多様体としての誘導計量に一致し、加えてHessian計量という特殊なものになる。本年度は、モジュライ空間にHessian計量が入る点に注目し、特にモジュライ空間が2次元の場合に、多くの平坦計量が入ることを示した。またある場合には、モジュライ空間のコホモロジーへの埋め込みが、極小にはならないことを示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度は、錘特異点に関する情報収集を行い理解を深めたが、新しい成果を出すまでには至らなかった。一方で、モジュライ空間の曲率に着目し、当初とは違う方法だが、モジュライ空間の構造を調べることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究実績の概要の１．について、今後はGreen関数の評価を行い、曲率のより詳細な性質を調べる予定である。また２．について、それらの計量の測地線について調べることを予定している。更にHessian多様体の曲率に多くの制限が入ることは、Amari-Armstrongにより示唆されている。その一般化を考え、モジュライの曲率への応用を試みる。
また錘特異点と漸近的に錘なendをもつconifoldの変形理論を、coassociative部分多様体に対して構築することを試みる。
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