2020 Fiscal Year Research-status Report
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17K14184
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| Research Institution | Shizuoka University |
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Principal Investigator |
四之宮 佳彦 静岡大学, 教育学部, 講師 (40755930)
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2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | リーマン面 / 平坦曲面 / 周期行列 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，Veech曲面の曲線複体，円柱分解，高さ比などVeech曲面の幾何学的性質を明らかにすることである．Veech 曲面が種数2の場合に対して知られ
ている曲線複体の性質の一般化，一般の超楕円的Veech 曲面上の曲線の様相の解明が目標である．
これらを応用して，Veech 曲面の2つの良い円柱分解を構成して，高さ比に関する不等式で，これまでより高精度なものを与えたい．
昨年度の研究で超楕円的平坦曲面は一様の展開図から構成されることが分かった．その展開図はいくつかの平行四辺形を階段状に繋げてできるものであった．本年度は長楕円的平坦曲面の中でも展開図の平行四辺形がすべて長方形で，対称性の高いものについて考察した．その平坦曲面の周期行列を決定したというのが本年度の成果である．周期行列はその平坦曲面の複素構造とcanonical homology basisによって決まる行列である．具体的に計算された周期行列の例はそれほど多くない．周期行列の計算にはcanonical homology basisとその曲面上の正則1次微分の空間の基底を求める必要があるが，
超楕円的なリーマン面については正則1次微分の空間の基底は，その代数方程式がわかれば与えることができる．本年度の研究で対称の平坦曲面の代数方程式を与えることができた．この代数方程式は特別な形をしているものであるが，逆にこの形の代数方程式に対応するリーマン面はすべて今回考察している展開図から構成できることも証明した．したがって，今回対象となるリーマン面は豊富にあることも言えた．さらに，展開図をみることでcanonical homology basisを与えることができることも突き止めた．これによってこれらの超楕円的平坦曲面の周期行列を求めることができた．また，今回の研究の系として長楕円積分に関する恒等式を得ることもできた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本年度の研究によって，平坦曲面の研究でも有用な周期行列の具体例を構成することができ，その対象となる平坦曲面の種類も多く，さらに拡張できる可能性もあり，今後の研究の発展につながるものではある．しかしながら曲線複体についてはその更なる性質を明らかにするには至らなかった．そのため「(3)やや遅れている。」と判断した．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究では，曲線複体の性質の解明を目指す．今年度得ることができた周期行列の計算手法をより多くの超楕円的平坦曲面へ拡張することを試みる．これによって対応する周期行列の性質を解明し，それらを曲線複体の性質の解明に利用したい．またこれまで予定した通り，種数2の場合の先行研究で知られている性質と同様の性質が種数3,4の場合に成り立つかどうかを調べる．その後，種数の一般化を目指し，超楕円的Veech曲面の2つの円柱分解で互いの交わり方を調べ，最終的な目標の超楕円的Veech曲面の高さ比に関する不等式に応用する．
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| Causes of Carryover |
コロナウィルスの影響で国内外の行き来がなく，研究の十分には進行しなかった．研究成果を発表するための講演や図書の購入等に充てるつもりである．
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