2018 Fiscal Year Research-status Report
Does a compact hyperbolic 4-manifold have a symplectic structure?
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17K14186
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
松尾 信一郎 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (40599487)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 微分幾何 / 幾何解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
コンパクト四次元双曲多様体にシンプレクティック構造が入らないと予想されている．この予想をザイバーグ＝ウィッテン理論により示すことが本研究計画の最終目標である．この予想の根拠は二つある．一つは，調和写像の議論によりコンパクト四次元 双曲多様体にはいかなる可積分シンプレクティック構造も入らないと示されていること．もう一つは，アームストロングによりコンパクト四次元双曲多様体に はその双曲計量に整合的なシンプレクティック構造は入らないと示されていること．
証明のために，具体的には，コンパクト四次元双曲多様体のザイバーグ＝ウィッテン不変量の消滅定理を示す．より詳しい議論の流れは次の通り．まずはコンパクト四次元双曲多様体のザイバーグ＝ウィッテン不変量が自明であることを示す．一般に，シンプレクティック 多様体のザイバーグ＝ウィッテン不変量は非自明である．従って，コンパクト四次元双曲多様体にはシンプレクティック構造が入らない．
さて，本研究計画の最大の目的はコンパクト四次元双曲多様体のSW不変量の消滅定理であるが，その証明の計画の第一歩は自己双対調和形式のノルムにより共形変換された特異計量に対するSW方程式の理論を構築することである．そのためにはモジュライ空間のコンパクト性を示すことと普通のモノポールのモジュラ 空間とのコボルディズムを構成することが必要となる．昨年度はモジュライ空間のコンパクト性は証明できた．副産物として，TaubesによるVafa-Witten方程式 の解析のある部分の簡易化もできた．今年度はその証明の細部を詰めて，論文を書いた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
上記の研究実績の概要に書いたように，今年度は証明の細部を詰める作業に費やされた．当初予測していなかった困難があり，残念ながらたくさんの時間がかかってしまった．
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| Strategy for Future Research Activity |
今のところ，研究計画に記述したことをそのまま実行する予定である．すなわち，アインシュタイ ン＝ヒルベルト汎関数の挙動を研究する．
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| Causes of Carryover |
独立基盤形成支援にも採択された故に，当初こちらで購入予定であった書籍などをそちらで購入したから．
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