2017 Fiscal Year Research-status Report
Study on the convexity of intersection bodies of a convex body with radial centers
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17K14191
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| Research Institution | University of Miyazaki |
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Principal Investigator |
坂田 繁洋 宮崎大学, 教育学部, 講師 (30732937)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 凸体 / 輻射中心 / 平行体 / 交差体 / 凸性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
n次元Euclid空間の通常の距離のp-n乗と体K(有界な開集合の閉包)の定義関数とのたたみ込みは、Kの次数pのRieszポテンシャルとよばれる。Rieszポテンシャルの最大点は、輻射中心とよばれ、重心・内心・外心の一般化ともいえる。本研究の大きな目的は、輻射中心を用いて、体の幾何的情報を得ることである。より具体的には、輻射中心を用いて、体Kが凸の場合に、Kからあるレシピに従って作られる交差体とよばれる図形が凸になるための十分条件を与えることである。
今年度は、体Kが凸体の平行体(外側法方向へ膨らませたもの)である場合に、Kの交差体が凸になるような平行体の半径(膨らませる幅)を与えることと関連する研究を行うことを計画していた。
体Kの交差体の凸性に関して、数式処理ソフトを用いて、Kが平面内の正三角形の平行体で、その半径が十分大きいならば、Kの交差体は凸になることを確認した。また、関連する研究者たちと情報交換を行い、平行体を考えるよりは、minimal ringとよばれる図形を用いて、交差体が凸になるようなKの形状を考えた方が課題解決に近いかもしれない、という新たな可能性を見出した。
関連する研究として、平面内の三角形の輻射中心の初等幾何的研究を行った。平面内の三角形の次数1の輻射中心は、H. AbrahamとV. Kovacにより、初等幾何的に特徴づけられ、新しい三角形の中心として「Encyclopedia of triangle centers」に登録されている。本研究では、平面内の三角形の次数pの輻射中心を初等幾何的に特徴づけ、それを用いて、「次数pの輻射中心と外心が一致する三角形は正三角形に限る」という主張を得た。これは、AbrahamとKovacの研究成果を拡張し、それの応用例を提示したものになっている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
申請書の研究実施計画では、「体Kが凸体の平行体で、その半径が十分大きいならば、Kの交差体は凸になる」という主張に証明を与える予定であったが、数式処理ソフトを用いて確認することに留まってしまった。これは、平行体の半径が十分大きいならば、交差体の凸性を導く際に用いる量を球のそれで近似できると期待していたからであるが、そうではないことが関連する研究者たちとの情報交換でわかったためである。研究方法の修正は必要になったものの、課題解決を期待できる可能性が得られたため、完全に遅れているわけではないと自己評価している。
一方で、関連する研究として得られた成果は、「輻射中心を用いて、体の幾何的情報を得る」という本研究の大きな目的に適うものであるため、研究は進展しているといえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
(1) 数式処理ソフトで確認できている具体例に、証明を与える。また、その具体的考察を検証し、研究実施計画であげた一般的な主張を得ることを試みる。
(2) minimal ringの幾何的性質に詳しいHerburt氏(ワルシャワ工科大学)、Bogdewicz氏(同大)、Moszynska氏(ワルシャワ大学)に研究協力を依頼し、課題解決を図る。
(3) 三角形の輻射中心の初等幾何の進展を図る。特に、「次数pの輻射中心が重心または内心と一致する三角形は正三角形に限る」と予想しているため、その解決を図る。
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| Causes of Carryover |
交付申請時点で予定していなかった研究集会へ参加する必要が生じたこと、交付申請時点で予定していなかった研究者を招聘するための経費が新たに必要になったことにより、予算執行計画を変更したため。
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Research Products
(6 results)
