埋め込み解析とホモトピー代数を用いた埋め込みの空間の研究

2017 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 17K14192
• Research Institution: Osaka Prefecture University
• Principal Investigator: 森谷 駿二 大阪府立大学, 理学(系)研究科(研究院), 客員研究員 (40583464)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2021-03-31
• Keywords: 埋め込み解析

Outline of Annual Research Achievements

本年度は，一般の多様体の中の結び目の(コ)ホモロジー群の計算に向けた研究を行った．申請者は，次元の高い多様体のなかの結び目に興味がある．このような結び目自体はほどけてしまうが，それらの結び目をすべて集めてきた空間自体は非自明なものであり，ユークリッド空間の場合にはホモロジー群に関して次元に関する周期性など興味深い性質が知られている．ホモロジー群を計算するためには，スペクトル系列という道具を用いるのが一般的である．多様体の中の結び目のなす空間についても，Vassilievによってスペクトル系列が構成されているが，このスペクトル系列自体がかなり複雑なものであり，計算に応用しにくいものである．応募者はGoodwillieらによる埋め込み解析を応用してより計算可能なスペクトル系列を構成した．これにより，ホモロジー群の完全な計算とまではいかないが，ある程度の次元の上からの評価は得ることができる．奇数次元の球面などについて，具体的な計算を行った．その結果，E2‐ページの段階ではこのスペクトル系列は退化しないことが分かった．高次の微分の決定が今後の課題となる．また，このスペクトル系列は対称スペクトラというより深い構造から来ているが，このスペクトル系列のその他の応用についても模索し，偶奇性の整数係数版を証明できるのではないかという着想に至った．この結果について，ホモトピー論シンポジウムや，信州トポロジーセミナーなどにおいて講演を行った．論文は現在執筆中である．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

スペクトル系列の構成に関して，かなり大きな進展が得られたため．

Strategy for Future Research Activity

今後は，構成したスペクトル系列を用いて，様々な例について計算を行う予定である．

Causes of Carryover

昨年度最終年度の科研費の繰り越し分を優先して使用したため．