2020 Fiscal Year Research-status Report
埋め込み解析とホモトピー代数を用いた埋め込みの空間の研究
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17K14192
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| Research Institution | Osaka Prefecture University |
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Principal Investigator |
森谷 駿二 大阪府立大学, 理学(系)研究科(研究院), 客員研究員 (40583464)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | オペラッド / 4次元以上の空間の中の結び目 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度(2020年度)も前年度から引き続き，多様体の中の結び目の空間のコホモロジーについて研究を進めた．ただし，本年度はユークリッド空間の中の結び目の空間(正確にはlong knotの空間)に的を絞って研究した．この空間については，有理係数ではSinhaのスペクトル系列が退化することが知られている．このスペクトル系列が任意係数で退化することを示すというかなり大胆な目標のもと，筆者のlong knotの空間のモデルが任意係数でformalであるという予想を立て，研究を行った．部分的なformality(ユークリッド空間の次元が大きくなるほど強くなるような)を得ることができた．しかし，研究を進めるにつれ，このモデルはformalでないと気付いた．実際Salvatoreによって示された標数2での小円オペラッドのnon-formalityはユークリッド空間の次元が2の場合はSinhaのスペクトル系列は退化しないことを示唆する．確証があるわけではないが，より高い次元でも同様の非退化が現れると思われる．応募者が発見したformalityの障害とSalvatoreの障害は異なり，後者はスペクトル系列の非退化に直接に関与するものである．Salvatoreの障害を筆者のモデルで解釈する研究を進め，現時点でおおまかにではあるがSalvatoreの障害が非自明なことを応募者のモデルを使って示すことができた．次元を一つ上げて3の場合に類似の障害類を構成することはできたが，それが非自明になるかどうかはまだわかっていない．これらの結果や昨年度得られた結果について，トポロジーシンポジウムやホモトピー論シンポジウムで講演(オンライン)を行った．また，信州大学の栗林勝彦氏の主催で，以前の非単連結有理ホモトピー論に関する研究についてオンラインで連続講演を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究は当初の予想とは異なる展開を見せており，現在の研究の中心は基本的なユークリッド空間内の結び目である．Sinhaのモデルの正標数でのformalityについて研究する中で，予想外の方法を発見することができた．これは一般の多様体の中での結び目の空間の研究にも応用できそうである．したがって，研究はおおむね順調に進展しているといえる．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後はまず，3次元の場合に現在考えているformalityへの障害になりうるクラスの非自明性を調べる．これに関しては多少複雑であるが，見通しは立っている．これが非自明であることがわかれば，高次元への拡張や，オペラッドのnon-formality，Sinhaのスペクトル系列への応用などを考察していく．もしこのクラスが自明であれば，ほかのクラスを考える．これと並行して，一般の多様体の中の結び目の研究も進める．具体的には例えば多様体が球面の直積の場合に，高次の微分がどうなるかを計算する．Salvatoreの障害を考察する過程で高次の微分を計算する方法についてヒントを得られたので，それを用いていくつか計算し，一般化できないか研究する予定である．
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| Causes of Carryover |
次年度使用額が生じた理由は次の二つである．
一つはコロナ禍により，多くの研究集会がオンラインになったため，旅費が想定を下回ったこと，二つ目もコロナ関連であるが，講義がほとんどがオンラインになり，それに伴い業務量が増加し，研究の時間が減少したことで書籍の購入などが少なかったこと．
2021年度もコロナ禍は続きそうであり，見通しを立てることは難しい．講義に関しては前年度よりは業務の減少が見込めるので，研究に避ける時間は増えると思われる．必要な書籍や論文を購入する予定である．
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