2017 Fiscal Year Research-status Report

組み合わせ的手法による低次元シンプレクティック多様体の研究

Research Project

Project/Area Number	17K14194
Research Institution	Keio University
Principal Investigator	早野健太慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 講師 (20722606)
Project Period (FY)	2017-04-01 – 2021-03-31
Keywords	レフシェッツ束 / 写像類群 / チェイン関係式 / Stipsicz予想
Outline of Annual Research Achievements	本年度は写像類群の関係式とシンプレクティック４次元多様体の手術との関係を利用し、小平次元を小さくする、シンプレクティック多様体の新たな手術を発見した。またこの手術を用いて得られるレフシェッツペンシルの性質を調べることにより、レフシェッツ束のファイバー分解可能性と(-1)-切断の存在に関するStipsicz予想の新たな反例を得た。レフシェッツペンシルを介し、写像類群の関係式から４次元シンプレクティック多様体の手術が定まる。本研究では特にチェイン関係式に対応する手術を、具体的なレフシェッツペンシルに施し、手術の前後の多様体の小平次元を計算することにより、この手術が小平次元を小さくすることができるということを示した。またこの例をブローアップしてから有理ブローダウンすることにより得られるレフシェッツ束が、Stipsicz予想の新たな反例になることも示した。具体的には以下の通りである。 Stipsiczはレフシェッツ束がファイバー和分解可能であるならば、それが(-1)-切断を持つということを予想した。この予想は誤っていることが知られているが、その反例としては種数が２のものと３のものしか与えられていなかった。本研究ではまず、レフシェッツ束の全空間がスピンになるための条件を与えているStipsiczの結果を、レフシェッツペンシルに一般化し、その一般化された条件を用いて、前段落で説明した方法で得られるレフシェッツ束が、ファイバー和分解不可能であるが(-1)-切断を持たないということを示した。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 当初の計画では、今年度は研究概要にある小平次元を下げる手術の研究とともに、６次元シンプレクティック多様体の組み合わせ的表示についても調べる予定であった。後者の研究はあまり進展がなかったが、それは前者の研究により得られた例が他の問題に応用できることがわかり、その例をより詳しく調べる必要性が生じたためである。当初計画していた研究の一部は順調に進んでおり、また計画にはなかったものの別の結果も系として得られたので、おおむね順調に進展している、とした。
Strategy for Future Research Activity	チェイン関係式に対応する４次元シンプレクティック多様体の手術が、小平次元を下げうるということを、例を与えることにより示すことができたので、今後はこの手術をより詳しく調べることにより、特定の例だけではなく一般にどのような条件下で小平次元が下がるのか、を調べていく。また当初の計画にもある通り、６次元シンプレクティック多様体の典型例である(複素)３次元射影空間上の、代数的なペンシルを調べることにより、その組み合わせ的構造を明らかにしていきたい。このためにまずMoishezon-Teicherのブレイドモノドロミーの理論を高次元に一般化できないか、検討していく。
Causes of Carryover	研究実績の概要および今後の研究の推進方策にもある通り、今年度は当初計画していた２つの研究のうち、一方のみに注力することになった。そのため得られる結果も一方に関するもののみとなり、発表のために出張を要する機会も当初の予定より減少し、次年度使用額が生じた次第である。今年度は昨年度行えなかった研究を進めるために積極的に情報収集と成果発表を行う予定であり、そのための旅費として使用する予定である。またシンプレクティック幾何学の研究者であるR.E.Gompfの還暦記念集会にも情報収集のために参加する予定である。その他、書籍購入などにも使用する。