2022 Fiscal Year Annual Research Report
Study of low-dimensional symplectic manifolds in combinatorial ways
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17K14194
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
早野 健太 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 准教授 (20722606)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | レフシェッツペンシル / 写像類群 / シンプレクティック多様体 / ブレイドモノドロミー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は昨年度未解決のまま残っていた予想の証明を試みた。また６次元シンプレクティック多様体を本研究で扱っている組み合わせ的表示により体系的に研究するために，組み合わせ的表示と対応する多様体の位相不変量との関係を調べる試みを行った。残念ながら前者に関しては全く進展がみられず，後者に関しても成果として発表できる結果には至らなかったが，以下に記載の通り部分的な結果を得ることはできた。
モノドロミーの情報から６次元多様体を構成するには，まず与えられたブレイドモノドロミーを持つ複素射影平面内のカスプつき曲面をとり，次にそのカスプつき曲面を臨界値集合とする６次元多様体から複素射影平面への写像で，値域内の射影直線の逆像への制限が，与えられたモノドロミー分解を持つレフシェッツペンシルになるものを構成する必要がある。以上の構成はAurouxにより提案されたものであるが，Aurouxは自身の論文においてこの構成を説明し，「できる」と主張するのみでその証明は与えなかった。本研究ではモノドロミーの情報に対応する６次元多様体から複素射影平面への写像にある意味で適合する概複素構造をとり，Thom多項式の理論を援用することで臨界値集合と６次元多様体の位相不変量を関連づける予定であったが，そのためにはAurouxによる構成で得られる６次元多様体上の写像を具体的に与える，つまりAurouxが「できる」と主張している議論を実際に行う必要があったので，まずこの写像の構成を試みた。その結果Aurouxの主張の一部，具体的にはブレイドモノドロミーを４次元シンプレクティック多様体の写像類群に持ち上げる操作がそのままではできないことが判明した。今年度の研究ではレフシェッツペンシルのファイバーを保つ微分同相写像とイソトピーにより定まる写像類群を考えることで，この問題を解決した。
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