2018 Fiscal Year Research-status Report
On rigidity of foliations on 3-manifolds
| Project/Area Number |
17K14195
|
|---|
| Research Institution | Ritsumeikan University |
|---|
Principal Investigator |
野澤 啓 立命館大学, 理工学部, 准教授 (80706557)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
|
| Keywords | 葉層構造 / 群作用 / タイル張り / 極小部分多様体 / トポロジー / 微分位相幾何 / コホモロジー / 準結晶 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
1. ジルベール・エクトール氏(リヨン第一大学名誉教授)と共同で, 3次元双曲多様体上のトートな葉層構造に関する研究を行った. 典型的な3次元双曲多様体である擬アノソフなモノドロミーを持つ円周上の曲面束の上の葉層構造について主に考察した. 1次ベッチ数が1であるような場合に, 極大オイラー類を持つ横断的にアファインな葉層構造はメニエの例を一般化して得られる葉層構造に限られることを証明した. これは昨年度得た結果を応用することで得られ, 中山によって示された定理の一般化である.
2.完備なリーマン葉層構造に対し, ヘフリガーコホモロジーがその既約コホモロジーと同型であり, さらに不変コホモロジーと双対になることを示した. その応用として完備なリーマン葉層構造がstrongly tensenessと呼ばれる性質を持つことを示した. これは閉多様体上のリーマン葉層のtensenessを示したドミンゲスの定理の一般化である.
3. トーリック佐々木多様体のケーラー錘について, 複素トーラスの十分に絶対値の小さい元に対して正則レフシェツ数が定義されることを示し, マルテリ, スパークス, ヤウらによる佐々木多様体の体積の公式を佐々木多様体がトーリックな場合に厳密に示した.
4. ヘスュス・アルバレス・ロペス氏とラモン・バラル・リホ氏と共同で, 局所対称な葉を持つ等質な葉層付き空間が剛性を持ち, 非常に特別な形に限られることを示した.
5. ヘスュス・アルバレス・ロペス氏とラモン・バラル・リホ氏と共同で, ユークリッド空間内のデローネ集合から得られる葉層付き空間Xの研究を行った. 閉葉全体の和集合がXにおいて稠密になるようなデローネ集合はデローネ集合全体の中で生成的であり, ポアンカレ円板内の格子の作用の軌道を測地線に射影して構成できることを示した.
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
3次元双曲多様体上の葉層構造については, 接触構造や結び目理論との関係から研究が進められてきており, ガバイによる多くの例の構成や有限性の結果がある. しかし, 分類についてはまだ未知の部分が大きい. これまで本研究では, 擬アノソフなモノドロミーを持つ円周上の曲面束などの典型的な3次元双曲多様体の場合の葉層構造の分類や剛性について研究を行ってきており, 横断的にアファインな葉層構造についてはいくつかの条件の下で分類を与え, 剛性を示すことができている. これらの結果は中山の先行研究を一般化するものであるが, ある条件には横断的にアファインな葉層の完全な分類を与えており, 3次元双曲多様体上の葉層構造の分類および剛性の研究において重要な進展を得られていると考えられる. ここで, ある条件とは円周上の曲面束の1次ベッチ数が1かつ葉層構造の接束のホモトピー類が曲面束の接束のホモトピー類に等しいという自然なものである. その証明に用いる議論についても, 葉層構造論において良く知られているローデンバッハ, ブランク, ルサリー, ケらのホロノミーを持たない葉層構造の分類に関する研究やルサリーやサーストンらによる葉層構造を持つ3次元多様体内の曲面の一般の位置の研究を一般化するものであり, モース理論などとの関わりも興味深いものとなっている. より一般の空間におけるトート性や剛性を持つ葉層構造に関する研究結果も得られている. 特に, 対称空間におけるデローネ集合に関する研究はタイル張りとの関連もあり, 興味深い結果が得られている.
|
| Strategy for Future Research Activity |
1. これまでの研究により, 円周上の曲面束の横断的アファイン構造をもつトートな葉層構造の内, 極大なオイラー類を持つものの分類について理解が進められた. 最終年度においては, この結果を基により一般のトートな葉層構造の分類について研究を行う. 特に, オイラー類が極大でないような横断的アファイン構造をもつトートな葉層構造の分類や、トートな葉層構造全体のなす空間のトポロジーやガバイによるイプシロン-アイソトピーを用いた分類について考察を行う.
2. 一般の佐々木多様体に対して, そのレーブ流の軌道葉層のコホモロジーについて考察し, ケーラー錘への複素トーラスの作用の正則レフシェツ数を定義し, マルテリ, スパークス, ヤウらによる体積の公式を厳密に示す.
3. ポアンカレ円板を初めとする対称空間上のデローネ集合Dについて, 局所対称な葉を持つ等質な葉層付き空間の剛性を応用し, 付随する葉層付き空間の大域的な構造について研究を行う. 昨年度の研究結果により極大同程度連続子の構造はよく理解できている. どのような条件下でデローネ集合Dに付随する葉層付き空間の極大同程度連続子が非自明になるか考察を行う. 極大同程度連続子が非自明な場合に前述の研究結果を応用することで, 対称空間のデローネ集合の大域的な性質を調べる.
4. 有限生成な群について, その上の彩色であって, 付随する葉層付き空間Xの閉葉全体の和集合がXにおいて稠密になるようなものについて研究を行う. 前年度の研究により, そのような彩色を一つ許容する群については, このような性質を持つ彩色が何らかの意味で生成的であることが期待でき, その測度や具体例について研究する.
|
| Causes of Carryover |
年度末に執行する物品費について事務手続きの関係上, 次年度に持ち越した.
|
