2018 Fiscal Year Research-status Report
ケーラー多様体上のモンジュ・アンペール方程式と正則曲線への応用
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17K14200
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| Research Institution | Ochanomizu University |
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Principal Investigator |
千葉 優作 お茶の水女子大学, 基幹研究院, 助教 (90635616)
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2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 擬凸領域 / 多重劣調和函数 / コホモロジー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2018年度は擬凸領域上の多重劣調和函数のレビ形式の台集合のトポロジーを調べた。擬凸領域とは多変数複素関数論で最も基本となる領域であり、その領域を特徴づけるのが多重劣調和函数である。
2017年度の研究でこのような台集合上の近傍上の正則関数が、擬凸領域全体の正則関数へと拡張されることを示した。この結果を一般化して、正則関数ではなく、微分形式も拡張できることを示すことで、台集合の近傍のド・ラームコホモロジーと擬凸領域全体のド・ラームコホモロジーに関連があることを証明した。ただし、ここで多重劣調和函数は、その全てのレベル集合がコンパクトになるようなものという仮定をかす。このような仮定は本質的であり、この仮定によりレビ形式の台集合が、射影多様体上の豊富な因子と共通した性質をもつこととなる。2018年度に示した結果は、擬凸領域上のレフシェッツの超平面定理ということができる。もともとレフシェッツの超平面定理は射影多様体のコホモロジーと、豊富な因子のコホモロジーの関係を記述するものである。射影多様体を擬凸領域、豊富な因子をレベル集合がコンパクトになる多重劣調和函数のレビ形式の台集合と対応させたものが、この度の我々の結果である。証明では2017年度の研究でも用いたL2評価の方法と、今回新しく用いた微分形式を相対コンパクトな集合上で繰り返し拡張していく方法が用いられた。また滑らかな微分形式を拡張する際に、微分可能性を無くしてL2空間で微分形式を拡張し、L2コホモロジーと通常のド・ラームコホモロジーの同型を用いることで結果を得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
多重劣調和函数のレビ形式の台集合の性質が順調に解明されているため。
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| Strategy for Future Research Activity |
今までは擬凸領域上で研究してきたが、今後は擬凸領域を一般化したシュタイン多様体での多重劣調和函数のレビ形式の台集合の性質を調べる。さらに多重劣調和函数を豊富な線束の半正な計量に置き換えることで、同様の定理が射影多様体上でも成立するかどうかを調べる。さらにより具体的な射影多様体、例えば複素射影空間やその直積、アーベル多様体などでどのようになっているかも調べる。
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