2021 Fiscal Year Research-status Report
ケーラー多様体上のモンジュ・アンペール方程式と正則曲線への応用
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17K14200
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| Research Institution | Ochanomizu University |
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Principal Investigator |
千葉 優作 お茶の水女子大学, 基幹研究院, 講師 (90635616)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | モンジュ・アンペールカレント / ケーラー多様体 / 正則線束 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ケーラー多様体上のモンジュ・アンペールカレントとベルグマン核について研究をした。特にケーラー多様体上のラグランジュ部分多様体について、正則切断の劣平均値定理を証明した。一般に劣平均値定理は正則関数の絶対値をとった関数に関して成立する。正則切断では正則関数と違って重み関数がつくのでそのまま劣平均値定理を証明することはできない。しかし、正則線束をテンソルしていくことで、重み関数は点に関して局所的に対称性を持つように漸近的に近づき、そのため漸近的な劣平均値の定理を示すことができる。これはベルグマン核の漸近的評価を示す際の重要なステップである。本研究では特殊なラグランジュ部分多様体に対して、同様な正則切断の漸近的な劣平均値の定理が示されることを示した。証明ではモンジュ・アンペールカレントを本質的に使う。Guillemin-Stenzel は解析的なラグランジュ部分多様体上にのみモンジュ・アンペールカレントの台をもつ多重劣調和函数を構成した。モンジュ・アンペールカレントが消えているところでは、そこに葉が正則な葉層構造が入り、その上ではコーシーの平均値の定理から、正則関数の値を境界上の値で評価できる。このことを使いDemaillyによるJensenの定理が証明されるが、このJensenの定理を使うことで劣平均値の定理がラグランジュ部分多様体上で証明される。この結果を用いてDuval-Sibonyによるラグランジュ部分多様体の多変数関数論的な特徴づけをする定理の量的な証明を得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
モンジュ・アンペールカレントの応用としてラグランジュ部分多様体における劣平均値の定理を証明できたため。特にモンジュ・アンペールカレントの台集合がラグランジュ部分多様体に集中していることが本質的に重要であり、これはケーラー多様体上のカレントの台集合が、多変数関数論では有用な研究対象であることを示している。
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| Strategy for Future Research Activity |
カレントの台集合を引き続き研究していく。特にベクトル束における特異計量を考えた時のチャーン類が表すカレントの台集合はどのようなものか調べていく。ベクトル束が正な計量をもつとき、このような台集合はトポロジカルな制限を持つであろうかという問題に答えを出すことを目標とする。
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| Causes of Carryover |
コロナ感染症による研究集会のオンライン化によるため。次年度は研究費を出張費として使用する。
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