2019 Fiscal Year Annual Research Report
Group actions and von Neumann algebras
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17K14201
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
磯野 優介 京都大学, 数理解析研究所, 特定助教 (80783076)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | エルゴード理論 / アフィン変換 / 冨田・竹崎理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
フォンノイマン環とは，（簡単に言えば）無限次元の行列環の事である．特にトレース写像を持つ場合をII型，持たない場合をIII型フォンノイマン環という．III型の環は物理学にも現れる自然な研究対象であり，私はこれを数学的な視点から研究している．私の研究は，II型環に対する近年の研究結果を，III型の場合に再現する事を目標としている．前年度までの研究で，基礎的な事実についての理解が大いに深まっている．そのため本年度は主に具体例の構成について研究を行った．
フォンノイマン環を構成する具体的な方法として，群の測度空間への作用を用いる事が出来る．これはフォンノイマンが考案した古典的な方法であり，現在においても基本的な構成法の一つである．これを用いてIII型フォンノイマン環を作るには「測度を保たない」作用を用いなければならないが，そのような作用への理解は限定的である．
私は今年度，荒野氏，Marrakchi氏との共同研究で，そのような作用を構成する一般的な方法を発見した．これは群のヒルベルト空間への作用（アフィン等長変換）を用いる方法である．アフィン変換とは線形等長変換にコサイクルを足した形をしており，線形変換についてはよく知られている．我々はこのコサイクルの部分も作用を与えるという事を示した．
我々はこの作用に対して，作用の基本的な情報であるエルゴード性や型の分類の研究を行った．特に型の分類においては，I型が現れるための必要十分条件となる定数を定め，この定数がコサイクルの幾何学的な数値との間に関係を持つ事を示した．これはつまり，測度空間への作用の性質が，そのままコサイクルの幾何学的な情報として現れるという意味であり，非常に興味深い現象である．
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