2017 Fiscal Year Research-status Report
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17K14202
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
永沼 伸顕 大阪大学, 基礎工学研究科, 助教 (60750669)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 4次モーメント定理 / Wienerカオス / Dyson Brown運動 / Malliavin解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は主に２つの研究を行なった．
ひとつは研究課題の主目的である4次モーメント定理の拡張に関するものである。Azmoodehらの先行研究により、あるWienerカオスに属する確率変数のモーメントに関する性質が多く調べられている。本年度は彼らの研究の流れに添い確率変数のモーメントに関する性質を調べた。結果として、確率変数の各次数のモーメントには非自明な不等式系が成立することが分かった。特に、4次モーメント定理の拡張に有用であろう不等式系も見つけることができた。
ふたつめは、Dyson Brown運動などを典型例とする非衝突過程の分布密度の存在と滑らかさに関する研究である。Brown運動の汎関数が分布密度の存在や滑らかさに関する研究に対してMalliavin解析が有効に働くことはよく知られている。例えば、滑らかな係数をもつ確率微分方程式の解が滑らかな分布密度をもつことが知られている。一方で、Dyson Brown運動を確率微分方程式により記述すると、非衝突性を表現するために特異性をもつドリフト項が現れる。本研究では、Dyson Brown運動のように特異なドリフト項をもつ確率微分方程式の解が連続な分布密度をもつことを示した。本研究では、Florit-Nualart (1995)やNaganuma(2013)が扱った局所非退化性の概念を用いて証明を与えた。その際に、隣り合う粒子の距離の負冪のモーメントの評価がひとつの鍵になり、それはGirsanov変換を用いて示される。本研究は田口大氏(大阪大学)との共同研究である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成29年度は、非整数Brown運動により駆動される確率微分方程式の近似誤差の漸近挙動の解明が当初の目標であったが、順序を入れ替えて、平成30年度に予定していた4次モーメント定理の拡張に関する研究を行った。4次モーメント定理の拡張はまだまだ成果が出ているとは言い難い状況である。しかし、非衝突過程の分布密度の存在と滑らかさに関する研究が予定外の完成をみたので、全体としては順調に進展しているといえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
4次モーメント定理の拡張に関する研究を推進して行く。本年度に見つけた不等式系は綺麗な性質を持つように見える。その背後にはWienerカオスの何らかの性質が隠れていると思われる。今後はこの不等式系を出発点としてWienerカオスの性質を考察し、その結果として4次モーメント定理の拡張を行いたい。
また、非整数Brown運動により駆動される確率微分方程式の近似誤差の漸近挙動の解析も行う。これに関してLiu-Tindelが本年にプレプリントを発表しているが、彼らとは別の手法により解析を進める予定である。
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| Causes of Carryover |
研究計画の若干の変更により書籍購入を次年度に持ち越したために生じた。次年度に購入する。
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