2018 Fiscal Year Research-status Report
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17K14204
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
楠岡 誠一郎 岡山大学, 異分野基礎科学研究所, 准教授 (20646814)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 確率微分方程式 / 確率偏微分方程式 / 確率量子場モデル / マルコフ過程 / マリアヴァン解析 / ディリクレ形式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成３０年度は３次元のΦ４確率量子場モデルの研究を引き続き行い、３次元トーラス上で行っていた議論を、本来の物理学におけるモデルである３次元ユークリッド空間で行うことに挑戦した。この話題は近年世界中で盛んに研究が行われており、いくつかの結果が知られているが、ここでは平成２９年度に行った伊藤解析を用いた手法と同様の手法で量子場の構成を試みた。この伊藤解析を用いた手法は、Hairer氏による正則構造の理論やGubinelli氏らによるParacontrolled calculusとは少し異なり、これらの理論が生まれる前に行われていた議論と整合性があり、既存の結果と組み合わせることによってこの話題が大きく発展すると期待している。しかし、この伊藤解析を用いた手法をとることによって数学的に繊細な困難が現れる。既にいくつかのアイデアを得ることができ、これらのアイデアによって解決できると期待しているが、まだ詳細を確認できていなく、現在も引き続き研究を行っている。
また、似たようなモデルとして２次元トーラス上で指数関数により相互作用を入れた場合の量子場の構成についても研究を行った。これは上でも述べた正則構造の理論やParacontrolled calculusの一般論では扱えないモデルとなっており、これに対しても伊藤解析を用いた手法により議論を行った。ここで用いた手法は無限次元ディリクレ形式による先行結果と相性が良く、これらの結果の間に整合性があると考えており、現在研究を行っている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成３０年度は新しい論文は発表しなかったものの、それぞれの研究に対していくつかの新しいアイデアを得るに至り、研究自体は大きく進展していると考えている。特に３次元ユークリッド空間におけるΦ４確率量子場モデルの研究では、困難であったエネルギー不等式の構成に対し、評価が難しかった項を、非線形性は同じであるが、正則性に関して弱いノルムを用いて評価することに成功した。これは大きな進展であると考えており、あとは細かな計算を繰り返すことによって目標であるエネルギー不等式が得られると考えている。エネルギー不等式の部分の他にも大量の計算が必要であり時間がかかると思われるが、技術的に大きな困難は無いと期待している。
また、２次元トーラス上で指数関数により相互作用を入れた場合の量子場の構成の研究では、既に得ている新しいアイデアにより、既存の結果を大きく上回ることが結論付けられると考えている。こちらもまだ詳細な計算が終わっていないため論文としてはまとめていないが、近々論文としてまとめられると期待している。
以上のことから、本研究課題はおおむね順調に進展していると考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は現在途中となっている計算を進め、３次元ユークリッド空間におけるΦ４確率量子場モデルの研究と２次元トーラス上で指数関数により相互作用を入れた場合の量子場の構成の研究を完成させる。これらの研究では新しい計算手法を使っており、他の確率量子場モデルに対しても適用できる可能性が十分にあるため、今後この話題をさらに発展させることができると期待している。特に、量子場の話題における物理学からの予想や、既存の結果との関係について明らかにしたいと考えている。３次元空間におけるΦ４測度の一意性は、物理学においては予想されているものの、数学的に厳密な証明はまだなされていなく、我々の手法を用いたアプローチによって挑戦したいと考えている。また、我々の手法は古くからある既存の結果と良い整合性があると期待できるため、先行結果と組み合わせることによるアプローチができるかなども考えていきたい。
また研究途中となっている、特異非線形確率偏微分方程式の手法を用いた確率微分方程式の解の挙動の研究や、ランダム環境中の拡散過程の挙動についての研究も引き続き行う。
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| Causes of Carryover |
平成３１年４月に他大学へ異動することが決まり、その引越し作業などのため２月から３月の授業の無い期間に海外出張が出来ず、未使用額が生じた。平成３１年度は平成３０年度に出来なかった海外出張など、多くの出張を行い共同研究を進めたいと考えている。
また異動先での研究設備を整えるため、パソコンやその周辺機器などを購入する予定である。
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