2017 Fiscal Year Research-status Report
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17K14206
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| Research Institution | Fukuoka University |
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Principal Investigator |
江崎 翔太 福岡大学, 理学部, 助教 (40784533)
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2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 無限粒子系 / 確率解析 / 飛躍型過程 / 無限次元確率微分方程式 / 長距離相互作用系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は、例えば対数ポテンシャルで相互作用が与えられる粒子系などの長距離相互作用系の時間発展である干渉飛躍型無限粒子系に対して、それに付随する無限次元確率微分方程式(ISDE)の解析を行うことである。その目的の為に今年度は以下の３つの研究を種村秀紀氏(千葉大学)との共同研究として行った。
(i) 既に配置空間上の過程として得られていた、長距離干渉飛躍型粒子系に対し、適切なラベル付けを行い、ラベル付け過程に対する解析を行うためのディリクレ形式を構成した。ここでいう適切なラベル付けというものは、初期状態で、あるラベルを付けられた粒子が、時間発展に対し継続的に同じラベルとして観察され続けるようなもののことをいう。ディリクレ形式は、ある配置空間上の過程とn個の有限粒子の過程からなるカップリングに対応するものとして構成され、そのディリクレ形式を用いることで対応するカップリングはnに関して両立条件をみたすことが示された。特に、既に得られていた配置空間上の過程とも両立的であることが示された。
(ii) 従来干渉ブラウン粒子系に対するISDEを構成するために導入されていた、点過程に対する対数微分に対応する概念の導入を(i)で得られたディリクレ形式を用いることで行った。その後、この概念を用いて干渉飛躍型無限粒子系のISDE表現を与えた。
(iii) 平衡状態を与える点過程の末尾自明性という性質を用い、ISDEの解のパスごとの一意性を示した。ここで用いられた手法は従来長田博文氏(九州大学)と種村氏の研究において干渉ブラウン粒子系に対して用いられていたが、その手法は本質的に駆動する粒子の力学的な性質によらない形で示されていると考えられたため、干渉飛躍型無限粒子系の場合にも適宜理論を変形、拡張することで、ISDEの解のパスごとの一意性を示すことに適応できた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の第一目標である、長距離干渉飛躍型無限粒子系の無限次元確率微分方程式(ISDE)の解析に関しては、種村秀紀氏と共同研究を始めることができて、結果として本年度に対する従来の計画を上回るパスごとの一意性に関する結果まで得ることができている。この点に関しては当初の計画以上に進展していると考えられる。ところが、一連の結果に対する論文の執筆が滞っている為、現在のところ研究成果を研究集会等で発表することはできているが、論文投稿はできていない。この点において計画より遅れてしまっていると考えられる。現在論文投稿に向け、論文を執筆中である為、全体としてはおおむね順調に進展していると考えられる。
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| Strategy for Future Research Activity |
すでに無限次元確率微分方程式の解に関する結果は得られている為、論文の執筆を行い、プレプリントサーバー、論文雑誌への投稿を行う。論文執筆において、無限次元確率微分方程式に関して現在取っている方法以外にも多角的なアプローチを試みることができないか考察する。
並行して、干渉飛躍型無限粒子系のタグ付け粒子の極限定理について研究を行う。そのためには、まず、タグ付け粒子とタグ付け粒子からみた周りの配置環境のカップリングの構成を行う。その後、相互作用がRuelle族ポテンシャルによって与えられる場合で、飛躍率が2次のモーメントをもつ場合の考察を行う。そして、Ruelle族ポテンシャルに対し、一般の飛躍率で極限定理の証明を試みる。さらに、Ginibre干渉系で飛躍率が2次のモーメントをもつ場合に極限定理を考察した後、一般のGinibre干渉飛躍型無限粒子系に対し考察を行う。それぞれの段階でタグ付け粒子に対して自明でない極限が得られるスケールを特定し、スケーリング極限を求めることを試みることが目標となる。
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