2021 Fiscal Year Research-status Report
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17K14206
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| Research Institution | Fukuoka University |
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Principal Investigator |
江崎 翔太 福岡大学, 理学部, 助教 (40784533)
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2017-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 飛躍型無限粒子系 / 確率解析 / 無限次元確率微分方程式 / 長距離相互作用系 / 可積分確率論 / 非平衡系 / 測度距離空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は、例として対数ポテンシャルで相互作用が与えられる無限粒子系を含む、長距離干渉系の時間発展である干渉飛躍型無限粒子系(強干渉飛躍系)に対する解析を行うことである。本年度は前年度に引き続き、強干渉飛躍系に付随する無限次元確率微分方程式の解析の研究を種村秀紀氏(慶應義塾大学)と共同研究し、研究成果を論文としてまとめ投稿した。論文は現在査読中である。また、成果を日本数学会の特別講演で講演した。
続いて、強干渉飛躍系の一種の1次元正方格子上の非衝突連続時間ランダムウォーク(RW)からなる無限粒子系を研究した。粒子の飛躍率が左右に等しい(対称な)系に対して以前自身が得ていた結果を飛躍率が非対称な系に拡張した。本研究では系の代数的性質に着目し、可積分確率論の手法を用いた。本研究では、ある与えられた初期条件から始める非衝突非対称RWからなる無限粒子系の構成、定常状態への収束を示すことができた。本研究対象は定まった初期条件から始める非平衡な無限粒子系である。また定常状態でも各粒子の動きが一定の方向性を持つという点で、ある種の非平衡定常状態の解析を与えたと考える。この研究成果を2つの研究集会で講演した。
また、強干渉飛躍系への幾何的アプローチとして、測度距離空間(mm空間)の拡張であるピラミッドの研究を数川大輔氏(九州大学)、三石史人氏(福岡大学)との共同研究で行った。mm空間は測度と距離が与えられた空間で確率論の研究対象も含まれる。一方、一般に強干渉飛躍系を含むマルコフ過程の道の空間を測度距離幾何的に扱うためにはmm空間を拡張したピラミッドとしての解析が有益となる。本研究では一般的なマルコフ過程への応用を念頭に、ピラミッドの不変量を定め、未知の非自明なピラミッドの構成を行った。また、非自明なピラミッドからなる空間の位相的次元に関する結果を得た。研究成果は現在論文の投稿準備中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度は当初の目標であった種村氏との共著論文をまとめ終わり、投稿を行うことができた。引き続いて、当初の研究実施計画においては長距離干渉飛躍型無限粒子系に対して多角的なアプローチを試みることが述べられていたが、それについて2つの異種のプロジェクトを進めることができた。1つ目は非衝突非対称RWによるもので、これは種村氏との共同研究で用いられたディリクレ形式による解析とは全く異なるアプローチによって与えられるものであり、互いに結びついて長距離干渉系の理解を深めるものである。2つ目は測度距離幾何学に関するもので、この研究は今後一般のマルコフ過程、特に配置空間上の長距離干渉系に適用できる理論となれば、従来とは全く異なる解析法を与えるものとなる。従来の目標と合わせ、異なる2点の多角的理解に向かった研究を行い、一定の結果を与えることができたため、おおむね順調に進展していると判断する。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は引き続き一般化Bessel点過程を平衡分布に持つ確率力学の構成と無限次元確率微分方程式表現についても研究を行う。この研究において必要があれば、より一般化した形での非対称な核関数を用いて相関関数が与えられる行列式点過程に対する相関不等式の導出を試みる。また、交付申請書において述べた本研究課題の大きな目標であるスケーリング極限に関する課題も引き続き研究する。今年度得られた非衝突RWに関する結果に対し、さらに初期条件を一般的に与えることを目標に継続して研究を行う。さらに、数川氏、三石氏と引き続き、今年度得られた理論の長距離干渉系への適用を目標に、一般のマルコフ過程の解析への応用に関して研究を続ける。
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| Causes of Carryover |
コロナウイルス対策から生じた教育の業務に時間を多く使うこととなったため、研究活動に割くエフォートが当初の予定より少なくなってしまった。また、同じくコロナウイルスの影響で、直接遠方の研究者を訪ね議論を行うことができず、また、遠方で行われる研究集会が中止となったり、オンライン開催となったため出張を行うことができず今年度の使用額はかなり少なくなってしまった。そのため次年度の使用額が生じた。次年度はオンラインで議論を行うための機材の購入費や、情報を得るための書籍の購入費、状況が好転した場合の遠方への出張費として支出を予定している。
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