Besov型関数空間とTriebel-Lizorkin型空間の実解析的研究

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 17K14207
• Research Institution: Tokyo Metropolitan University
• Principal Investigator: 野井 貴弘 東京都立大学, 理学研究科, 客員研究員 (90736555)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2022-03-31
• Keywords: 変動指数解析 / ウェーブレット

Outline of Annual Research Achievements

本研究課題はベゾフ型およびトリーベル・リゾルキン型関数空間、変動指数の枠組みにおける関数空間の実解析的な研究です。これらの関数空間はいずれもパラメータを適切に調整することで、ルベーグ空間などの基本的な関数空間と同一視することができるという点で重要な研究対象となる関数空間です。
今年度は共同研究者とともに変動指数の枠組みにおける荷重理論の整備・構築に取り組みました。主要な研究結果として、変動指数の枠組みにおける荷重付きルベーグ空間およびソボレフ空間において、
「１．複素補間空間」、
「２．ウェーブレットによる特徴付け」、
「３．原子分解」
の結果を得ることができました。ここで、荷重のクラスとして、マッケンハプトの荷重クラスを変動指数の枠組みに拡張したクラスを考えています。今回得た研究結果はいずれも、変動指数の枠組みにおいて、種々の作用素の有界性を調べる際に有用な道具になります。例えば、複素補間空間は作用素の有界性を調べる際に非常に有用な概念であり、ウェーブレット分解や原子分解は作用素の有界性を調べる際に有用な関数の分解法です。これらの結果の応用として、変動指数の枠組みにおける荷重付きルベーグ空間およびソボレフ空間におけるポイントワイズマルチプライヤーの有界性、コンパクトな埋め込みや同相写像等の結果を得ることができました。これらの結果は、従来の指数が定数である場合のルベーグ空間およびソボレフ空間における結果の自然な拡張になっています。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

今年度の主要な研究結果である
「１．複素補間空間」、
「２．ウェーブレットによる特徴付け」、
「３．原子分解」
は、従来の指数が定数である場合の結果の自然な拡張になっていることから、今後の変動指数の枠組みにおいて、種々の作用素の有界性を調べる際に有用な道具になります。このことから、変動指数の枠組みにおける関数空間に対する研究として、順調に進展していると考えることができます。実際に、これらの結果の応用として、変動指数の枠組みにおける荷重付きルベーグ空間およびソボレフ空間におけるポイントワイズマルチプライヤーの有界性、コンパクトな埋め込み等を得ることができました。

Strategy for Future Research Activity

来年度も引き続き、荷重理論の整備・構築に重点をおいて研究を進めて参ります。
また、これまでは種々の関数空間における作用素の有界性を主に研究してまいりましたが、今後は偏微分方程式などへの応用も見据えた研究を行っていきます。

Causes of Carryover

今年度はコロナウィルスの影響で、研究出張ができなかったため使用予定額と使用額に差異が生じました。翌年度は論文投稿のための英文校閲や論文のオープンアクセス代をメインに助成金を使用するつもりです。