2017 Fiscal Year Research-status Report
| Project/Area Number |
17K14213
|
|---|
| Research Institution | Niihama National College of Technology |
|---|
Principal Investigator |
松田 一秀 新居浜工業高等専門学校, 数理科, 准教授 (20550106)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
|
| Keywords | テータ関数 / 有理指標 / Ramanujan の方程式 / 微分体 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
モジュラー形式が満たす微分方程式としては、線形方程式と非線形方程式がある。線型方程式としては古くからテータ定数と Gauss の超幾何関数との関係が知られている。
非線形方程式の古典的な例として Ramanujan の方程式と Halphen の方程式が知られている。Ramanujan の方程式は Chazy の方程式と同値である。これらの方程式の解はレベル 1 あるいは 2 のモジュラー形式によって与えられる。Ramanujan の方程式とHalphen の方程式は相互に関連があり、Halphen の微分体は Ramanujan の微分体のガロア拡大となっており、そのガロア群は 3 次の対称群と同型であることが知られている。ここからEisenstein 級数をテータ定数で表す古典的な関係式が得られる。テータ関数から Jacobi の4平方数定理などの数論的な応用がある。
本研究では、非線形の方程式を扱う。特に古典的な Ramanujan と Halphen の方程式のレベル 3 以上のモジュラー形式への類推を具体的に微分体の拡大として記述することを目指す。この分野の研究では、もともとRamanujan のテータ関数論を用いて、その微分方程式のレベル 2 のモジュラー形式への類推が盛んに研究されていた。それに対して、我々の研究では Farkas と Kra の有理指標のテータ関数論を積極的に用いる。微分体の拡大から、古典的な Eisenstein 級数を有理指標のテータ定数で表すことも目指す。さらに、自然数を2次形式の和で表す方法を数え上げる整数論の問題への応用も考察する。
Ramanujan の理論に比べてFarkas と Kra の理論には未開拓な部分が多くあり、大きな進展が期待される。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
レベル3のモジュラー形式の微分方程式を、整数論ではなじみのある、cubic theta 関数を用いて構成できた。
|
| Strategy for Future Research Activity |
申請段階では、テータ微分をテータ定数で表す、Jacobi の微分公式の高レベル化が重要だと認識していたが, 研究が進むにつれてテータ微分そのものが重要であることが分かってきた。
|
| Causes of Carryover |
残りの金額が小さいために使い道がなかった。
|
