モジュラー形式が満たす微分方程式

2019 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 17K14213
• Research Institution: Niihama National College of Technology
• Principal Investigator: 松田 一秀 新居浜工業高等専門学校, 数理科, 准教授 (20550106)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2021-03-31
• Keywords: モジュラー形式 / Ramanujan の微分方程式

Outline of Annual Research Achievements

レベル 3 のモジュラー形式が満たす微分方程式を具体的に導き, Osaka J. Math に掲載が決定した. Eisenstein 級数が満たす古典的な Ramanujan の微分方程式に対してレベル 3 への類似を導いた. 微分方程式だけでなく, 微分体の拡大や 2 次形式への応用も得ることができた.
T. Huber もすでにレベル 3 のモジュラー形式が満たす微分方程式を得ていたものの, 微分体の拡大を得られていなかった. また, Huber の例では, Eisenstein 級数が, 微分方程式の中に入っていないので, 2 次形式への応用が難しくなっている. 本研究では, 微分方程式の中に Eisenstein 級数が入っており, Huber の研究に比べて見通しの良いものになっている.
今まで, モジュラー形式が満たす微分方程式としては, 擬モジュラー形式 (quasi-modular forms) が解に来るものが多かった. 今回, 我々が得たものは, 厳密なモジュラー形式が解に来ているので, 整数論の立場から見れば扱いやすいのではないかと思われる.しかしながら, 微分方程式は、今まで可積分系の立場から盛んに研究されていた Halphen 型と呼ばれるものにはなっていない. ここで, Halphen 型の微分方程式というのは, 未知関数の導関数がその2次式で表されるようなものである. 我々が得たものは導関数は 3 次式で表されている.

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

モジュラー形式が満たす非線形微分方程式が具体的に計算できている.

Strategy for Future Research Activity

今までは非線形方程式の観点から, モジュラー形式をとらえていたが, これからは線型方程式との関連を考察し, Gauss や Jacobi らの古典的な結果と自分の研究との関係を深めていきたい.

Causes of Carryover

コロナウィルスの影響で研究集会が開けなかった。研究集会が再開できない場合は, 研究費を資料の収集に充てる予定である.