2017 Fiscal Year Research-status Report
Trudinger-Moser型臨界非線形楕円型方程式の符号変化解の漸近挙動
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17K14214
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| Research Institution | Muroran Institute of Technology |
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Principal Investigator |
内免 大輔 室蘭工業大学, 工学研究科, 准教授 (20783278)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 楕円型方程式 / 臨界問題 / 変分法 / 爆発解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
私は当該年度の研究によって，Trudinger-Moser型非線形項を持つ臨界楕円型方程式の球対称符号変化解の漸近挙動に関する解析を行った。特に，先行研究Adimurthi-Yadava(1992)によって得られたk回符号変化する低エネルギー球対称符号変化解についての爆発解析を行い，その解は適切な極限においてk個の爆発(値が無限大に発散)する点を持つこと，それらの爆発点の周りで適切なスケーリングを施すことで解はLiouville方程式の解に収束することおよび，そのエネルギー極限値には2πの自然数倍が現れること，つまり「エネルギーの量子化現象」が現れることを証明することに成功した。さらに，解はk個の爆発する部分に加え，１つのコンパクト性を有する（方程式の正値解に強収束する）部分を持つことも同時に証明できた。これは１つの解の漸近挙動の中に非コンパクト性（集中現象）とコンパクト性（強収束性）が混在することを示したもので興味深い結果である。これらの証明のために私はまず，代表的な集中関数列であるMoser列を用いて適切な試験関数を構成することで解のエネルギーの計算を行った。続いてこのエネルギー評価をもとに，Adimurthi-Druet(2004)やGrosii-Grumiau-Pacella(2014)による爆発解析法を応用することで，それぞれの爆発点の周りでの解の挙動を調べた。本研究結果は研究協力者であるローマ大学のM. Grossi准教授との共著論文として執筆を行い，現時点で数学専門誌に投稿中である。さらに本結果について4件の国内外研究集会及び学会において口頭発表を行い，聴講者らとの討論を行った。本結果は本研究課題の当初の研究目的を達成しており，今後は発展的研究課題である一般領域における符号変化爆発解の構成に取り組む。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
当初の研究目的を達成し，発展的研究課題の着想及び研究計画を得ている。よって当初の計画以上に進展しているといえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は，発展的研究課題として一般の有界領域上での符号変化爆発解の構成に取り組む。手法はLyapunov-Schmidtの方法を用いる。ただし，はじめから直接的に一般の有界領域を考えることは難しいと思われるため，当面の目標としてやや特殊な状況である軸対称領域を考え，その上での符号変化爆発解の構成を行う。このためにVaira(2015)による高次元の臨界問題の爆発解の構成を行った先行論文が参考になると思われる。これによると，我々の課題達成のためには対応する2次元Trudinger-Moser型非線形楕円型方程式の正値解の非退化性を用いる必要があると思われる。しかしこれまでの研究では一般領域における当該方程式の正値解の非退化性についてはまだ明らかになっていない。そこで，今年度は当該方程式の正値解の非退化性を証明することを目標とする。このために，関連する2次元指数型非線形楕円型方程式に対する先行研究であるGrossi-Ohtsuka-Suzuki(2011)による爆発解析に基づいた解の非退化性の証明法を学び，本課題への応用を行う。さらに彼らの議論を応用するためには爆発解のより詳細な解析結果が必要であると思われる。このために先行研究であるAdimurthi-Druet(2004)やMarchis-Ianni-Pacella(2017)などを参考に爆発正値解のさらなる詳しい解析を行う。さらに球対称解の非退化性を研究した先行論文であるAdimurthi-Karthik-Giacomoni(2016)を通読しその応用を模索する。また研究協力者であるローマ大学のM.Grossi准教授とメール等を通じて適宜研究議論を行う。さらに本年度3月には約2週間程度，現地にて直接議論を行う予定である。結果が得られた場合は当該結果を研究論文としてまとめ学術論文誌へ投稿する。また，並行して各研究会と学会での口頭発表を行う。
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| Causes of Carryover |
当該年度の大学業務にかかる用件で当初計画をしていた2月のローマ大学への出張が1日分減ったことにより使用されなかった旅費の差額の一部として次年度使用額が生じた。次年度はこの分の補足として，3月に予定している同ローマ大学出張期間を当初の計画より1日増やす計画である。当該助成金10479円はその滞在費の一部として使用する。
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Research Products
(8 results)
