2018 Fiscal Year Research-status Report
Trudinger-Moser型臨界非線形楕円型方程式の符号変化解の漸近挙動
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17K14214
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| Research Institution | Muroran Institute of Technology |
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Principal Investigator |
内免 大輔 室蘭工業大学, 大学院工学研究科, 准教授 (20783278)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | Trudinger-Moser不等式 / 半線形楕円型偏微分方程式 / 符号変化解 / 臨界問題 / 爆発解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該年度より本研究課題の発展的研究として，一般の有界領域上での符号変化爆発解の構成を目指し，研究協力者であるローマ大学のMassimo Grossi氏との共同研究を始めた。当面の目標はまず軸対称領域での符号変化爆発解の構成を行うことである。我々が構成を目指す解は非線形問題特有の挙動を示すものであり興味深い。特に適切な極限において，解のある部分は集中現象を起こし，ある部分は臨界方程式の正値解に強収束をするという2種の異なる挙動を合わせ持つものである。この種の解は我々の去年度までの研究によって球対称領域では存在することが示されているが，一般の有界領域で存在するか否かは未解決であり，非自明な問題である。この解決のために我々はLyapunov-Schmidtの方法を用いた解析を行う。これまでの準備研究によって，この解の構成のためには対応する臨界方程式の正値解の非退化性を示す必要があることが明らかになっている。そこで当該年度はこの臨界方程式の正値解の非退化性を証明することを目指し研究を行った。手法は爆発解析を用いた。まず解析の第一段階として高次元におけるSobolev臨界問題や2次元領域におけるLiouville-Gelfand問題に対する同種の先行研究の手法を我々のTrudinger-Moser型臨界問題に応用することを試みた。その結果，対応する線形化問題の解および爆発解が満たすべき恒等式を用いた証明部分において，当該問題の非線形性の特殊性により，深刻な困難が生じることが明らかになった。現在はこの困難を解消するべく研究を継続している。また，本研究課題に関連して国内外における諸学会・研究集会において招待講演を6回行った。さらに前年度までに得られた結果についてまとめたMassimo Grossi氏との共著論文の出版が決定した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
前年度までに当初の目標は達成しており現在発展的研究課題に取り組んでいる。
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| Strategy for Future Research Activity |
臨界方程式の正値解の非退化性に関する研究を継続する。特に当該年度までの研究によって明らかになった証明が困難な箇所「対応する線形化問題の解および爆発解が満たすべき恒等式を用いた証明」の解析を重点的に行う。この為に爆発解および線形化問題の解の漸近展開を用いることが有効であると考えられる。これについて球対称領域に対する先行研究であるMalchiodi-Martinazzi('14)やMancini-Martinazzi('17)が参考になると期待される。これらの論文のアイディアを我々の考察している軸対称領域における問題に拡張することを試みる。このことで証明の困難を解消し正値解の非退化性を証明する。この結果が得られ次第，当該発展課題であるLyapunov-Schmidtの方法を用いた軸対称領域における符号変化爆発解の構成に適用しその証明を完成させる。研究遂行を円滑にするために随時メールやローマ大学を直接訪れることで研究協力者であるMassimo Grossi氏との研究討論を行う。またこれまでに得られた解析結果について諸学会や研究集会において講演を行い周辺領域の専門家らとの議論を行うことで本研究課題達成のための新たなアイディアを模索する。
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