2021 Fiscal Year Research-status Report
Trudinger-Moser型臨界非線形楕円型方程式の符号変化解の漸近挙動
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17K14214
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| Research Institution | Muroran Institute of Technology |
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Principal Investigator |
内免 大輔 室蘭工業大学, 大学院工学研究科, 准教授 (20783278)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 変分法 / 偏微分方程式 / 爆発解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該年度の研究では，発展課題として球対称符号変化解の集中現象の解析をさらに推し進めた。前年度までに，エネルギー有界な球対称符号変化解の集中現象の分類および精密な定量的漸近解析を成功させた。当該年度は上記の結果を改善するものとして以下の(1)および(2)に取り組んだ。
(1)任意の球対称解の列への結果の拡張
前年度の解析では対象となる解の列に対して「エネルギー有界」という技術的な仮定を課していた。解の一意性などが成立しやすい球対称解ではこのような仮定は除去することができると期待される。これに対し，当該年度の研究では，解の極値の単調性を加味し，証明方法を整理することで，この技術的な仮定を除去することに成功した。結果として，任意の球対称解列に対する集中挙動の分類を達成した。このことで，Adimurthi-Yadava(1992)による球対称符号変化解の非存在定理の別証明を与えることにも成功している。
(2)強い摂動パラメータ範囲での漸近解析の完成
前年度までに臨界非線形項への摂動の強度によって集中解の挙動が変化することが明らかになった。しかし，この摂動の強度が大きい場合の解析は，極大点の収束速度の微小部分の影響によってエネルギーの漸近公式の導出に困難が生じるため，未解決となっていた。そこで，当該年度の研究ではこのような強い摂動パラメータ範囲での解析を精密に行った。結果として，すべての摂動パラメータに対して，解の集中挙動の分類および漸近公式を明らかにすることに成功した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
発展的研究課題に取り組んでいる。
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| Strategy for Future Research Activity |
当該年度の研究によって，前年度の結果を大幅に改良することに成功したものの，証明の計算量が膨大になってしまった。指数型の強い非線形項を持つ当該方程式の研究では，このようなことはしばしば起こることで，この計算量の多さが当該方程式の本質的な挙動を理解するための困難の原因となっている。今後は当該年度までに得られた結果の証明の簡単化を図りたい。これまではMarchiodi-Martinazzi(2014)の手法を参考に縮小写像の原理を用いてエネルギーの漸近展開を求めていたが，これを符号変化解の挙動の解析に用いると計算量が膨大になる。そこで，当該年度の研究ではこれに代わり，一般の有界領域における正値解の集中解析を行ったDruet(2004)のアプローチを取り入れた新たな証明を試みる。
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| Causes of Carryover |
コロナ感染症の影響により国内・海外出張がキャンセルになったため。成果発表や情報収集のための国内旅費に用いる。さらに情勢が許せば海外の研究協力者と研究討論をするための渡航費として用いる。
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