2019 Fiscal Year Research-status Report
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17K14216
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| Research Institution | Nagoya Institute of Technology |
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Principal Investigator |
千頭 昇 名古屋工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 准教授 (60789006)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 圧縮性粘性流体 / 半線形熱方程式 / 臨界空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2019年度の研究により, 次の2 点の成果が得られた. 1.) 圧縮性 Navier-Stokes-Korteweg 系に対する適切性及び時間減衰評価の確立. 2.) Hardy-Henon 型半線形熱方程式に対する臨界 Besov 空間における時間大域可解性. 3.) Hardy-Sobolev 臨界指数をもつ Hardy-Henon 型半線形熱方程式に対する解の大域的ダイナミクス.
1.) においては, 二層流体の相転移を記述する圧縮性 Navier-Stokes-Korteweg 系を臨界 Besov 空間において考察し, 時間大域可解性を示した. 特に, capillary tensor が存在しない通常の圧縮性粘性流体と異なり, 音速が零となる時も対応する線形化方程式が安定であり, 非線形問題に対しても小さな時間大域解が構成できることを明らかにした. 更に, 初期値に追加的な可積分性を課すことで, この解の自乗可積分空間における最適な時間減衰評価が成り立つことを示した. この結果は, Journal of Mathematical Fluid Mehcanics に受理され, 掲載された.
2.) においては, Besov 空間における一般的な冪乗型関数における合成関数の評価を確立することで, Hardy-Henon 型半線形熱方程式に対して, 既存の適切性が成立する関数空間を拡張し, 臨界 Besov 空間における時間大域適切性と正則性の伝播, 加藤型 norm 評価による時間減衰の解析を行なった.また, 臨界 Besov 空間の端点補完指数を取ることにより, 小さな前方自己相似解が構成に成功した.得られた結果は. Journal of Elliptic and Parabolic Equations に掲載された.
3.) Hardy-Sobolev 臨界指数をもつ非線形項に対して, 対応する初期値問題の解をエネルギー空間において構成した. また, 基底状態以下のエネルギーを持つ初期値に対して, 一意的な大域解のエネルギーがゼロに減衰するか, 有限時間または無限時間で爆発する場合の必要十分条件を考察した. 得られた結果は現在査読付き論文雑誌へ投稿準備中である.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
二層流体を記述する圧縮性 Navier-Stokes-Korteweg 系を考察し, 既存の適切性理論を押し広げることに成功し, 結果は査読付き論文雑誌に ``Chikami, Noboru; Kobayashi, Takayuki Global well-posedness and time-decay estimates of the compressible Navier-Stokes-Korteweg system in critical Besov spaces. J. Math. Fluid Mech. 21 (2019), no. 2, Art. 31, 32 pp" として出版された.
また, 多くの非線形問題において有用となる冪乗型関数の合成関数の評価を Besov 空間において成立させ, その応用として Hardy-Henon 方程式の非線形問題の解の構成を行った. 得られた結果は``Chikami, Noboru; Composition estimates and well-posedness for Hardy-Henon parabolic equations in Besov spaces. J. Elliptic Parabol. Equ. 5 (2019), no. 2" として論文に纏め, 出版済みである.
更に, 上記の研究の延長として Hardy-Sobolev 臨界型の非線形熱方程式に対する大域ダイナミクスの考察を行ったため, 進捗状況は「当初の計画以上に進展している」とした.
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究の推進方策としては, 研究の目的 (iii), (iv), (v) において挙げた, 圧縮性粘性流体の定常解の性質を調べ, スペクトル解析を用いてその漸近安定性を示すことを目標とする. また, その過程において適宜関数不等式や関数空間の埋め込みの研究を行い, より広い空間における適切性・ダイナミクスの解析を目指す.
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| Causes of Carryover |
前年度，COVID-19 のパンデミックにより予定していた海外出張が中止となったため，未使用額が生じた．
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