2018 Fiscal Year Research-status Report
Analysis of the Navier-Stokes equations by maximum norms
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17K14217
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
阿部 健 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 准教授 (80748327)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | ナヴィエ・ストークス方程式 / 軸対称解 / 外部問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度はナヴィエ・ストークス方程式についての研究を行い4編のプレプリントに纏めた. そのうち１編はManuscripta Math. から出版予定で, 他の３編は査読中である. また投稿中であったG.Seregin氏 (University of Oxford)との共同研究がProc. Roy. Soc. Edinburghから出版予定となった.
本年度行った研究は大きく分けて3つある.
一つ目はナヴィエ・ストークス方程式の軸対称解の粘性極限の研究である. 3次元オイラー方程式の弱解は未知である部分が多いが, 本研究ではナヴィエ・ストークス方程式の時間大域解が構成可能である軸対称旋回なし初期値に焦点を当て, 粘性消去法により弱解を構成する研究を行った.
二つ目は外部領域におけるストークス半群の最大値ノルムでの時間無限大の評価の研究である. これまでの研究でストークス半群が解析半群になることはわかっていたが, 時間無限大の評価は不明であった. 本研究ではリュービル型定理とMizumachiの公式を用いて空間次元が3次元以上の場合にストークス半群が有界解析半群となることを示した. また空間次元が2次元となる場合にもネットフォースがゼロになる流れに対しては同様の評価が得られることを示した.
三つ目は初期渦度が測度となる場合の２次元半空間の渦度方程式の研究である. ２次元半空間の渦度方程式は境界条件がヒルベルト変換を含む非斉次境界条件となる. 本研究ではSolonnikovによるストークス半群のグリーン行列による表示を用いてストークス流に付随する渦度方程式の解作用素を構成した. またこれを用いて, 初期測度の離散部分が小さい場合に時間大域一意解を構成した.また線形の場合に時間無限大での渦の漸近公式を与えた.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
引き続き３つの研究テーマについて研究を進めている.
一つ目の粘性極限についての研究は本年度で一応の解決が得られたので, 今後は軸対称オイラー方程式の定常解である渦輪の安定性の研究を進める.
二つ目の外部ストークス流の時間無限大のL_infty評価の研究については２次元の場合にネットフォースがゼロにならない流れが研究課題である. ネットフォースゼロ条件はストークス流が空間可積分となる必要十分条件であることが知られており, 時間無限大の評価において本質的な仮定であるのか検証することが課題である.
三つ目の渦度方程式の研究は時間無限大の挙動, 初期渦度の離散部分が大きい場合の解の存在, リュービル型定理など多くの課題がある. これらの解析には一意性定理が重要である.
二つ目の課題は3次元以上の場合に完全解決することができ, 大きな進展であった. 三つ目の課題は多くの問題が残されているが, 今後の解析で重要になる基礎的な道具を準備することができた.
以上より研究は概ね順調に進展していると評価する.
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| Strategy for Future Research Activity |
3つの研究を並行して進める.
一つ目の渦輪の研究は2次元オイラー方程式の円渦の安定性定理で得られているL_1安定性を確立することが研究の目標である. 定常渦輪はインパルス一定条件のもとでエネルギーを最大にするという変分構造があるため, 類似の変分構造を持つ分散型方程式の安定性定理について基礎的な調査を行うことが重要である.
二つ目の外部ストークス流の研究については２次元の場合に漸近的に定数になる解について研究を進める.
三つ目の渦度方程式の研究は弱L_2かつ渦度が可積分となるクラスでの一意性定理確立を目標とする. 双対法により一意性を示すアプローチではオセーン方程式が共役問題となり, 一意性は弱L_2空間の前双対空間であるローレンツ空間での解の空間減衰の問題になる. ストークス流の場合に知られている有界函数空間での一意性定理を参考に研究を進める.
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| Causes of Carryover |
大阪市立大学における学内競争的資金「戦略的研究2018」に採択されたため, 今年度使用予定額の一部を翌年度に繰り越した.
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Research Products
(11 results)
